PROPORTIONS DES HOURDIS

P l'oportions des hourdis.

Les proportions adoptées par les constructeurs, pour la nervure et son armature métallique, paraissent donc être assez bien d'accord avec les indications théoriques. Il nous reste à voir s'il en est de même pour les hourdis à section rectangulaire.

Reportons-nous donc aux formules antérieures, applicables plus spécialement aux hourdis, et que nous avons obtenues, soit par la considération des faibles charges en faisant intervenir la branche inférieure de la courbe limite ; soit d'après les fortes charges avec la branche supérieure.

On a vu que, d'après les équations fondamentales, l'expression de

n doit être de la forme K j/^, co de la forme K et K'

étant des coefficients constants.

Or, voici les résultats que l'on obtient avec les quatre constructions que nous venons de citer :

1° Atelier d' Armentières. — Par mètre courant, le hourdis a une surface de 1.00 X 2.00, ou 2 mètres carrés; une charge totale de 2 X 670'^, ou 1,340% la surcharge étant de 400\ Le moment est

1,340 X^^, ou 335. La valeur de n est à peu près 0 .08. Ici, b est

égal à 1 mètre.

On en conclut : K=0. 0043.

On sait que : *

Quand est petit par rapport à n, ce qui arrive ordinairement, on peut simplifier sans grande erreur et écrire :

Si l'on prend pour R', travail normal du fer, le chiffre de par millimètre carré, ou 8X10'; si, d'autre part, on exprime, comme nous l'avons fait dans les formules, la section du métal en milli-

CHARGE UNIFORMÉMENT RÉPARTIE

mètres carrés, remplaçant ainsi w par w x 10'; si, enfin, l'on remarque que le produit mo est /

Kj^^XlvV^, ou KK'ii,

on en conclut que, dans l'expression de w, le coefficient K' est égal

à gj.. Prenant un travail R' de 8\ le coefficient deviendrait g-^.

Dans l'exemple que nous examinons, il sera, par exemple, égal à

- — T^-pcT-TT. OU à 29.0, et la section totale des barreaux devient 8X0.0043 '

29.0v/l.00X33o, soit 550 millimètres carrés; ou 730 millimètres avec travail de 6''. Le hourdis contient 4 barreaux par mètre courant ; chacun doit donc avoir un diamètre de 14 à 16 millimètres; ce qui paraît conforme à l'exécution.

1° Pensionnat à Ollignies. — Le moment, pour le hourdis, est environ 400, d'après la portée indiquée; la valeur de n est 0"\08. On en conclut : K=0.0040.

La valeur de K' sera en conséquence 31.2 ou 41.5; et w deviendra égal à 625 ou 833 millimètres carrés ; à raison de 3 barreaux par mètre courant, le diamètre de chacun est de 16 à 18 millimètres.

3" Entrepôt de Lausanne. — La valeur de n est O'MO. Le moment correspondant à la charge d'épreuve serait 960 ; pour la charge normale, il se réduit à 480, d'après ce qui a été dit ci-dessus. En suivant la même marche, on trouve K= 0.0045.

On en conclut K'=27.7, ou 37.0, suivant la valeur attribuée à R' ; le diamètre varie en conséquence de 14 à 16 millimètres pour 4 barreaux par mètre courant.

4° Collège à Mans. — Le moment correspondant à la surcharge totale est de 1.160, soit 580 pour la charge normale. La valeur de n est O'MO; on en conclut : K = 0. 00424.

Pour K', on aura 29.5 ou 39.2; le diamètre sera, pour les 4 barreaux, égal à 18 ou 20 millimètres. Ces divers chiffres paraissent concorder avec l'exécution.

II résulte de là que, pour ces trois exemples exécutés, la valeur de K varie de 0.0040 à 0.0045 et diffère peu de la moyenne 0.00425. Nous avons trouvé théoriquement que, avec un coefficient de sécu-

["HOI'OHTIONS i)i;s iioruDis. SI

rite égal à^, ce coeflicienl devrait être 0.00438 pour la vnleiir de n,

le coeiTicient correspondant étajit alors 37.9 pouro). Le cliilîre déduit des proportions adoptées par les praticiens correspondrait donc à un

coefficient de sécurité qui serait y environ.

Le coefficient K', dans l'expression de w, prend une valeur corresl)ondante, de 30 à 40 environ, suivant qu'on adopte pour le travail du fer 8'' ou 6'' j)ar millimètre.

Finalement, la règle suivie par les constructeurs, en ce qui concerne les hourdis à section rectangulaire, peut se résumer ainsi :

n = 0.00425 jy^^^ > = '■iô\'f>\>- en moyenne.

Elle est assez bien d'accord avec les formules théoriques et donne,

comme nous venons de dire, une sécurité représentée par - environ.

POIDS UNIQUE AU MILIEU

POIDS UNIQUE AU MILIEU

10 Branche supérieure. - Hourdis à section rectangulaire. - Flèches. - Section

à nervure. t-i - i F r

2" Branche inférieure. - Section rectangulaire ou à nervure. - i^lecnes. roi-

niulcs pratifiues.

Nous allons reprendre les mêmes calculs pour le cas où, au lieu d'une charge uniformément répartie sur toute la portée, la pièce est chargée d'un poids unique placé au milieu de cette portée. La marche des calculs reste d'ailleurs la même.

Hourdis ou dalles à section rectangulaire.

Soit 2P le poids placé au milieu, Il la portée totale; la hauteur réduite est h = 3s si ^ est la distance du polygone des résultantes ou pressions, à la face supérieure. Ici ce polygone se réduit a une droite.

, i 'dL-v dœ

Le déplacement dù à la flexion centrale est j El ^

L'expresion de ^ est N(y — s) = Y' ^ ^ ~ Y'

liiîANCHK sri'i':i;ii:iii'.i:.

La valeur de /'est - y ; celle de I : Nous remplaçons

par ^ d^, car '^=^0+ («— ^o)f- Iutéj.ranl, entre les limites e = ^o

et 3^*^ qui correspondent à œ = o et .v=ûo„ on trouve

3iE;?(l — 0)

MO

si l'on pose comme précédemment : B = A

Pour évaluer le raccourcissement dû à la compression sur la partie centrale, remarquons que la section moyenne est ^— , eiani

la largeur de la pièce. Sur la longueur a\ qui est égale à

/'(n-sg ^ ^(1-36) 3.;n-so) "3(i-er

ce raccourcissement est finalement

L'allongement du bar- j. p

reau, sur la même longueur et sous la tension N est

NZ(1 — 30) 3noE(l- 0)'

Egalant cet allongement aux deux termes précédents , on trouve finalement la condition

bn L„30

Tïï;; — 1-30 ' 30<;i+30) L'équation des moments au centre donne

P étant le demi-poids placé au milieu, / la demi-portée.

54 POIDS UNIQUE AU MILIEU

La compression R^, par unité de surface, au sommet est

R' étant la tension du métal par unité de surface.

boi 2R'

Dans la relation (1), on peut remplacer — par tiré de la

relation (3).

Pour faciliter les calculs a été dressé le tableau suivant des valeurs des différents termes qui entrent dans la relation (i) :

bn rw

3rRi

pièches. — Nous établissons l'expression de la flèche, pour la partie centrale et pour la partie complémentaire, d'après les mêmes principes.

t " Dans la partie centrale, l'intégration de-^ ^^'^ ^^ dœ, après avoir

exprimé x et dœ en ^ et d-^, et entre les limites 3 = o et ^ = g, conduit finalement à

■9&En^(l — 0)

P' étant la charge totale.

Les valeurs de K s'obtiennent comme suit, en fonction de 8 qui doit avoir été déterminé au préalable :

0 = 0. 005 0 = 0.010 0 = 0. 020 0 = 0.030 0 = 0. 040 0 = 0. 0.50 0 = O.OGO 0 = 0.080 0 = 0.100 0 = 0.150 0 = 0.200

r Dans la partie complémentaire, la flèche F, est, comme avec la charge uniforme, égale à mais ici iV, qui estle moment au point

descellement, est N(.' -s) = N|>'-:,. -O^-^o)'-'-!, puisque les . progressent suivant une ligne droite.

Remplaçant h par ^ (1 — a), il vient

et si l'on remplace N par-^

1 — ai

Section à nervure.

Les remarques faites au sujet des pièces soumises à une charge uniforme s'appliquent encore au cas présent. Les formules que nous venons d'établir pourront être employées pour les sections à nervures comme pour les sections rectangulaires.

POIDS UNIQUE AU MILIEU

Section rectangulaire ou à nervure.

Faisant £ = £o + (^^ — £o)='- au lieu de ^=^0+ — £o)'>% la marche des calculs est la même que pour le cas d'une charge uniforme.

L'expression / donne maintenant

nn—v') ^

(y' — £o)ai — — '

El

Tel est le déplacement dû à la flexion.

Le raccourcissement du a la compression est .

Na /

L'allongement du métal est ^^^^^ . Nous rappelons que l'épaisseur

utile ho est supposée constante.

Egalant l'allongement à la somme des deux premiers termes, la condition de déformation devient

v' v" 1 v" Posons : A=-j et B =y ; les A' et B' s'appliquant à la section dont la hauteur est n, distance de l'axe des barreaux à la face supérieure, la condition qui détermine le point où se fait le scellement, point où la tension du béton atteint la limite R, devient

= N[A' - B'eo — B'in - 3o)arj. (2)

La condition qui exprime que, au milieu de la portée, la face inférieure de la section réduit est à la limite de tension, reste

R, = N[A-Bs„]. (3)

lUiAiNCHK I.NKKIUKUUK

Les coudilions (4) et (ti) devieniieiiL

et

ou

•vure.

Suivant que la section est rectangulaire ou armée d une ner' P est le demi-poids appliqué au milieu.

On en tirerait des expressions analogues à celles que nous avions obtenues avec la charge uniforme :

A' ^-A— (B^ — B)îo B'(n- h) ' R.,

Prenons comme premier exemple une des dalles de M. Cottancin. expérimentées au laboratoire des ponts et chaussées, du type des numéros 7 et 8, avec 11 barreaux. Ces dalles étant âgées d un mois, nous prendrons pour r le rapport 20 des bétons moyens. La valeur de n est 0.03 environ.

Procédant comme la première fois nous trouvons :

/<=0.040 0.0176 0.0200 /i^O.030 0 0132|0.0150 /z:=0.025 0.0110 0.0125 /î=:0.020 0.0088 0.0100 /i=0.017 0. 0075 0.0085 /^:=0.015 0.0066 0.0075 /i^O.OlO 0.0044 0.0050

gI

On en conclut qu'il fauten réalité prendre a, =0 jusqu'à /i — 0.017,

POIDS UNIQUE AU MILIEU

en donnant aux correspondants la valeur v' — — - — conserver

les valeurs de jusqu'à A = 0.010; conserver au-delà la valeur 0.103.

Comme dans le cas d'une charge uniforme appliquée à une section armée de nervure, le cas d'un poids unique appliqué à une dalle rectangulaire présente les mêmes faits, dans le même ordre : au début sensiblement nul, puis augmentant pour atteindre un maximum; les z^, d'abord négatifs, augmentant également jusqu'à un maximum.

Le tableau rectifié devient, en prenant R, = 20x10'' ou R,=30xl0'*

lk.8

O.Oîi

La rupture de ces pièces s'est produite à 520'' et SSO'', ce qui semble coïncider avec la charge maxima qui ne pourrait être dépassée d'après ce genre de calcul. Mais, comme nous l'avons dit , pour les très fortes charges ce sont les formules du cas précédent qui doivent être adoptées de préférence.

Ici la valeur de reste nulle jusqu'à des charges qui dépassent notablement la charge normale, laquelle ne saurait guère excéder

555 ou 85^

Pour constater de nouveau l'inlluence des variations dans la valeur du rapport r, prenons celui-ci égal à 10, comme pour les bétons âgés de l'expérience de Lausanne :

liltANClll': INKI^llUElirtK

'Jl. — V

O'iO

(iO'i

— 0. i:]()Oo

()iS 1

O.OOOO'i

Olô

Nous sommes ainsi conduits aux; valeurs définitives

lio — 3 N

rrO

Ici se trouve plus marquée la période d'hésitation où la tension ne se développe que moyennant des retours en arrière ; ceux-ci ne se manifestent probablement que pendant la première mise en charge. Nous voyons également que, contrairement à ce qu'on aurait pu supposer, une valeur plus grande de r, qui implique un coefficient d'élasticité plus élevé, ne correspond pas à une plus forte résistance; car les charges maxima de la seconde série sont plus élevées que celles de la première. Les différences ne sont d'ailleurs pas en proportion de la variation de r qui passe du simple au double.

Deuxième exemple. — A la même série d'expériences nous emprunterons un second exemple, le n" 17 qui comportait 26 barreaux et dont l'armature était par conséquent beaucoup plus forte.

Les éléments de calcul sont les suivant, avec /' = 20 :

POIDS UNIQUE AU MILIEU

et conduisent aux résultat définitifs :

La rupture de cette pièce a eu lieu pour 460\ chiffre qui ne s'écarterait pas beaucoup du maximum de charge.

On remarquera que, dans cette pièce où l'armature extraordinairement renforcée n'a rien des proportions ordinaires, la période pendant laquelle agreste sensiblement nul est beaucoup plus courte; et que le sommet du polygone des pressions s'abaisse beaucoup plus rapidement.

Flèches. — Un calcul tout à fait semblable à celui de la charge uniforme, sauf la substitution de a, à a,' dans l'expression de c, donne les formules suivantes :

1° Pour la partie centrale

2° Pour la partie complémentaire, l'expression (6') déjà calculée