NON DÉSAGRÉGÉ

Nous venons de voir que, au milieu de la portée, une petite partie du ciment est désagrégée ou fissurée, et que l'étendue de cette portée est d'autant moindre, en largeur et hauteur, que le chargement primitif s'est fait suivant une progression plus régulière. C'est seulement h partir de charges notablement supérieures à la charge normale que cette désagrégation, d'abord localisée en un point pour ainsi dire, commence à s'étendre dans les deux sens. Cette extension s'accroît régulièrement avec la charge.

Dans cette région médiane, et d'abord très peu étendue, les barreaux de fer subissent une tension plus forte qu'ils ne subiraient si le métal et le ciment avaient continué à travailler solidairement ; ces barreaux n'y sont plus noyés dans la masse de ciment, travaillant avec le même allongement; ils travaillent comme de véritables tendeurs ou tirants reliant les deux moitiés de la poutre, à la partie inférieure légèrement désagrégée.

A droite et à gauche de cette région centrale, le ciment est intact, l'adhérence et la cohésion subsistent; le fer et le ciment, à partir de là, redeviennent solidaires. Que se passe-t-il dans les deux masses non désagrégées, depuis cette région centrale jusqu'aux appuis?

l'niNClPKS GÉNÉRAUX.

Figurons une moitié de la pouire, soit uniformément chargée d'un poids total P pour la demi-portée [fig. I), soit chargée d'un poid. unique 2 P au milieu [fig. 1). En NO est la limite à laquelle s'arrête la désagrégation centrale,

A partir de B commence le scellement; le fer et le ciment restent en contact en tous points depuis B jusqu'à l'extrémité D De A en B la tension constante (et non plus variable, comme dans la première période de solidarité) estN. Si elle restaitaussi constante deBenD' on tracerait comme d'ordinaire le polygone des résultantes MNd' qui serait sensiblement une parabole avec la charge uniforme cfui serait une droite avec le poids unique. ' '

En réalité, la tension de B en D ne peut être constante : la ten-

/4xe ne

sion N dimiuue à mesure qu'elle est transmise à la masse de ciment par le scellement même; d'autre part, la tension du ciment, résultant de la flexion, va, comme on sait, en diminuant du centre vers les appuis. La tension du barreau va donc en décroissant.

Essayons de voir suivant quelle loi approximative. Supposons d'abord que ce soit suivant une progression géométrique : la tension N, dans le plan NO, deviendra 3/4 de N dans le plan rV", 1/2 de N dans le plan c'd' , etc.. et nulle en D.

Dans le cas de charge uniforme, écrivons l'équilibre ^^ahcd entre la réaction P, la tension réduite au 1/4 de N, qui agit à partir du plan cd, et le premier poids partiel ; ce qui conduit en 1. Puis l'équilibre de ah&d' entre la réaction P, la tension 1/2 de N à partir de c'd' et les deux points partiels successivement rencontrés; ce qui conduit en 2, etc., et finalement ramène au point N.

pRKssioNs r/r moments de klkxion.

Avec le poids unique, sans iiilervenliou de poids purlicds, les points 1 , 2, 3, N sont en ligue droite.

Ces points sont doue ceux où passe la pr.^ssion résultante snichaque section verticale rW, c'O', d'd" , et ces pressions successives sont déterminées sur les figures 3 et 3'. ^

A quels moments de Uexion correspondent ces pressions ohluiues ? De M à N le moment, pour l'ensemble des forces extérieures, horizontales et verticales, est mesuré par le produit de la tension constante N multipliée par la distance comptée de MN à l'axe neutre. Mais de N à D il n'en est plus de même, la tension n'étant plus constante; pour évaluer le moment en regard de chaque section verticale,

Axe ncuf'e

Ax& n

eutrti

rig.2'

il faut multiplier l'ordonnée comprise entre l'axe neutre et la ligne N,

3, 2, 1, par la tension correspondante ; N,-y, l^n eliet, sou

Rla pression oblique en 2, par exemple; évaluons son moment qui est pris par rapport à G sur l'axe neutre {fig. 1); il est égal à la somme des moments de ses deux composantes H et V. Or celui de V

est nul; le moment cherché se réduit à celui de H, c est-à-dire a ^

multiplié par l'ordonnée 2 G.

Pour figurer graphiquement ces moments, on peut tout aussi bien considérer N comme restant constant, mais réduire les ordonnées rapportées à l'axe neutre, successivement aux 3/4, à 1/2, 1/4 de leur valeur, et finalement à zéro pour l'extrémité T; ce qui remplace les

rRINClPES GÉNÉRAUX.

lignes N, 3, 2, 1 par NKT. Avec le poids unique, NKT reste une ligne droite; avec la charge uniforme, c'est une courbe qui reste convexe en son milieu.

Tel est le résultat obtenu en partant d'un décroissement de la tension suivant une progression géométrique. Ce résultat est-il admissible?

Voyons quelles en seraient les conséquences. Remarquons d'abord que dans le plan NB, limite de désagrégation, la partie inférieure du ciment, vers 0, est la limite de sa résistance de tension. Si la ligne réduite NKT se relève au-dessus de l'horizontale à partir de N, comme sur la fig. 2, le moment de flexion augmente, car les ordonnées réduites augmentent et il faut les multiplier par un N fictivement constant, pour le calcul des moments. De plus, les pressions réelles N diminuent; la valeur de la tension maxima, qui est N . .

I irait donc en augmentant, par cette double cause. 11 s'ensuit

que, à droite du plan limite NB, la tension maxima dépasserait la limite de rupture ; il y aurait donc désagrégation, ce qui est contraire à l'hypothèse qui nous sert de point de départ: la désagrégation s 'arrêtant à NBO.

^ Il faut donc, au contraire, que la courbe, au lieu de se relever, s'abaisse, soit suivant une droite oblique NKT comme sur la figure 3', soit même en devenant légèrement concave comme NK"T. On pourra admettre, comme moyenne, la droite oblique; c'est-à-dire que les moments de flexion décroissent régulièrement depuis le point N, où le moment est le produit de la tension N du barreau par la distance de ce même point N à l'axe neutre, jusqu'à l'extrémité T où le moment est nul.

Nous sommes ainsi fixés, au moins d'une manière approximative, sur ce qui se passe, à droite et à gauche de la région désagrégée ou fissurée, à f intérieur de la masse du ciment restée intacte.

nnANciir; srr'ÉrtiRunE.

CHiKGE UNIFORMÉMENT RÉPARTIE

II i; . .\ copiioii l'rM'liuifulaii'c. — Flèches. — Section à 1" Branche supérieure: Houi-dis a bectiou xlliau^uuui

iipfvure. — Foriiuilcs pratiques. v^r 20 Branche inférieure : Section rectangulait-e ou a nervure. - Mèches. - Foi-

m„lo^ nntiaues — Réi?lago des écartemcnts. — Meclies. ^l^!- Fxen^les d'application. - Proportions des hourd.s.

Ces remarques vont nous permettre de déterminer les éléments qui nous sont nécessaires ; soit le travail du fer et celui du ciment dans une pièce dont les dimensions sont données ; soit les dimensions qu'il convient de donner à une pièce pour que le travail soit celui qu'on a fixé à l'avance.

Hourdis oit dalles à section rectangulaire. Nous supposons la charge uniformément répartie ; la section de la pièce est un rectangle. Sous de très fortes charges, avoisinant la rupture, le béton s'est désagrégé sur une longueur Xi = t-il, pour la demi-poutre {fig. !)•

Nous négligeons la résistance à la tension que peut posséder le béton et qui, sous les lortes charges, est en effet négligeable à côté des résistances à compression du même béton et du fer à la tension.

En conséquence l'épaisseur de ciment à conserver est ici égale à 3 si s est la distance du polygone à la face supérieure dans la section considérée.

1^ CHARGE UNIFORMÉMENT RÉPARTIE

On remarquera aussi que, dans ce cas, la valeur de z doit toujours être positive, le polygone devant se maintenir partout à l'intérieur de la pièce.

Il faut écrire que le déplacement du point B où se fait le scellement du barreau, tel qu'il résulte de la flexion de l'arc CDEB, est égal à l'allongement du barreau AB augmenté du raccourcissement de CDEB. Cette condition exprime qu a partir de B il y a adhérence du métal et du ciment.

On a donc

Le déplacement du point de scellement, résultant de la flexion, est

Intégrons en remarquant que e^^t plus grand que zéro ; les limites sont ..==o, et a = a, = ou 3

Finalement ce déplacement est

Pour évaluer le raccourcissement dû à la compression, on remarque que la section verticale a pour hauteur moyenne : - + 2 3„ ; le raccourcissement sur la longueur a/ devient

L'allongement du fer est

On doit égaler cet allongement à la somme des deux termes précédents.

liliANCIIK SIll'KItlKUm;.

Eu [)Os;uil

cotte condition devient

1 ! ti)

(Ml appelant :

0 la largeur de la section,

ji la distance du barreau à la face supérieure,

}' le rapport des coefficients d'élasticité du fer et du béton ou mortier,

w la section totale des barreaux,

0 le rapport-", dans lequel est la distance du sommet du poly-

gone des résultantes à la face supérieure. L'équation des moments au centre donne

en appelant ^ N la tension totale des barreaux, et R' la tension par unité de

surface, p la charge par mètre courant, / la demi portée.

Enfin l'équation des projections horizontales donne

si Rj est la compression du ciment, par unité de surface, au point C.

En raison des relations 2 et 3, on peut remplacer dans la première :

— par^'",,r> . On fera usaee de l'une ou l'autre forme suivant qu on rw ^ SrORi ^

se donne les dimensions de la pièce, ou le travail des matériaux. Pour la facilité des calculs, nous donnons ici les valeurs des

diverses expressions qui entrent dans le terme A, et celles de — ou

de TTiT Qui s'en déduisent. - --- — . i

16 CHARGE UNIFORMÉMENT RÉPARTIE

cr>

co

arc tg B

B arc tg B

bu rw