AD.BC=R(C'D+CD

Remarque. Si les deux arcs sont supplémentaires, comme AC, BC, les deux théorèmes qui viennent d'être démontrés donnent AC BC=R.CC; relation évidente.

THÉORÈME VI

Une circonférence étant partagée en nn nombre impair de parties égales, si l'on joint le point diamétralement opposé à l'un des points de division avec tons ceux qui sont situés sur la même demi-circonférence, le produit des cordes ainsfmenées est égal à une puissance du rayon marquée par . le nombre des cordes.

Cette proposition est une conséquence immédiate de la Fig. 240. remarque précédente; car on a

OA 1 .AA 1 =R.AA' 1 , ou OAt.AA^R.ÀA,.

De même , A* . AA, = R * AA 4 ,

OA s .AA 8 =R.AA 6 ,

Donc, eu multipliant membre à membre,

OÀ* . 0A 4 . 0A 8 . 0A 4 . 0A B . OA«=R 6 .

THÉORÈME VII

Une circonférence étant partagée* en un nombre impair de parties égales, si l'on joint le point diamétralement opposé à celui dont l'indice est téro avec les points dont les indices sont les terme* de la progression 4,2, i, S..., le produit des cordes ainsi menées sera égal à une puissance du rayon marquée par le nombre des cordes.

En effet, A t . AA t =R . AA 3 , Fig. 240.

OA 1 .AA 2 =R.AA„ OA*.AA 4 =R.AA i;

d'où oa;.oa,.oa 4 =r*.

THÉORÈMB VIII.

On peut, au moyen de la règle el do compas, diviser la circonférence p oai M dix-sept parties égales.

Par le Théorème VI, on a OA, . OA, . OA, . OA» . OA, . OA, . OA 7 . OA, = R». par le Théorème VII,

OA 1 ,OA,.OA v .OA 8 =R' (1).

Donc OA, . OA 5 .OA, . OA,=R* (2).

Les relations (1), (2) peuvent être ainsi écrites :•

{OA 1 .OA t }{OA 1 .OA,}=R* (3),

Par les Théorèmes IV et V, nous aurons OA,.OA v =R(OA, + OA,), OA,.OA,=R(OA, — 0A 7 ), OA 5 .OA s =R(OA, + OA,).

Posons OA,+OA,=M, OA,— OA T =N, OA i +OA,=P, OA t -OA 4 =Q;

et les égalités (3), (4) deviendront

MN=R*... (5), QP=R»... (6).

Ainsi les produits MN, PQ sont connus.

Remplaçons M, N, P, Q, parleurs valeurs, et effectuons les multiplications indiquées : nous obtiendrons, au lieu des équations (5) et (6) :

MN=OA, . OA, + OA, . OA,— OA, . OA, — OA, . OA,, PQ=OA, . OA,+ OA, .OA, — OA,.OA»— OA». OA,.

Si, dans MN ou dans PQ, dans PQ, par exemple, on transforme les produits, on aura :

DE GEOMETRIE BLBMBNTAIBE. i 73

OA,. A,=R (OA, + OA,), OA,.OA,=R(OA T — OA,), OA,.OA»=R(OA,+OA,), OA v .OA,=R(OA t -OA,);

donc Rj(0A,+OA,)-(OA,-OA 7 )}-{(OA 1 +OA,)-(OA 1 -OA 4 ))=R%

ou bien (M-N) — (P-Q)=R (7).

La différence des deux quantités (M — N), (P — Q) est donc connue. Pour déterminer leur produit, observons d'abord que