M-N)(P— Q)=OA,.OA,+OA,.OA,— OA,.OA,+OA,.OA

+OA..OA.+0 A,. OA,— OA, . OA,-|-OA 7 .OA, — OA,.OA,— OA 4 .OA s -t-OA 1 .OA 6 — OA,.OA T -r-OAj.OA^-T-OA^OA,— 0A 4 .0A,-r-0A v .0A, D'ailleurs, OA,.OA,=R(OA,+OA,), OA,.GA 5 =R(OA,+OA,), 0A 1 .0A 4 =R(0A t + 0A,), OA, . OA,=R (OA,— OA,), OA,.OA,=R(OA 5 — OA,), OA,.OA,=R(OA,— OA 4 ), OA,.OA,=R(OA,-OA,), OA,.OA,=R(OA 1 — OA,), OA,.OA 5 =R(OA, + OA t ), OA l .OA 8 =R(OA t -r-OA,), OA,.OA,=R(OA. + OA,), OA 1 .OA 7 =R(OA 6 +OA,), OA,.OA,=R(OA, + OA 7 ), OA».OA s =R(OA,-OA,), OA» . OA,=R (OA,— OA,), OA v .OA,=R(OA s -OA,);

donc, par la substitution,

ou (M— N)(P — Q)=4R» (8).

Ainsi, on connaîtra M — N et P— Q*. Comme on conuait MN et PQ, on pourra avoir M et N, V et Q. De plus, le rectangle des cordes 0A 6 , OA 7 est équivalent à RQ, et leur différence est égale à N. Donc on pourra construire ces cordes ; et Tare compris entre leurs extrémités sera la dixseptième partie de la circonférence.

Remarque. L'illustre géomètre Gauss a démontré, le premier, dans l'ouvrage intitulé Disquisitiones Arithmeticœ, qu'il est possible, au moyen de la règle et du compas, de . partager la circonférence en dix-sept parties égales. La démonstration géométrique ci-dessus est attribuée à Ampère.

THÉORÈME IX

Entre tous les triangles formés avec deux côtés donnés, le maximum est celui dans lequel ces deux côtés sont perpendiculaires l'un à l'autre.

Fig. 242. Soient les deux triangles CAR, CAR, qui ont le côté AR commun, et les côtés AC, AC égaux; je dis que le premier triangle, dans lequel l'angle CAR est droit, est plus grand que l'autre triangle CAR.

Menons la hauteur CD; nous aurons CD<CA, ou CD<CA. Or, les deux triangles CAR, CAR, qui ont même base AR, sont entre eux comme leurs hauteurs ; donc, etc.

THÉORÈMB X.

Le cercle est plus grand que toute ligure isopérimèlre.

La démonstration de cet important théorème sera partagée en plusieurs parties.

1° Une figure qui a un périmètre donné ne peut avoir une aire infinie.

En effet, la proposition n'a de sens qu'autant que Ton suppose la figure fermée de toutes parts. Donc cette figure est une portion finie de plan.

3° Entre toutes les figures qui ont un périmètre donné, il existe un ou plusieurs maximums.

Cette proposition est évidente d'après celle qui précède.

3° Une figure qui, avec w\ périmètre donné, renferme une aire maximum, est convexe.

Considérons, en effet, la figure non convexe ACBD. Si ^ 1G - ^°nous faisons tourner la partie rentrante ACB autour des points A, B, nous pourrons former une figure AG'BD, de même périmètre que la première, et qui évidemment sera plus grande que celle-ci,

4° Toute droite qui divise le contour d'une figure maxi* mum en deux parties équivalentes, divise aussi la surface de cette figure en deux parties équivalentes.

Soit ABCD une courbe qui, avec une longueur donnée, Fig. 244. renferme une surface maximum. Supposons que la droite AB partage cette courbe en deux parties ACB, ADB ayant même longueur.

Si la surface ABDA est plus grande que ABCA, faisons tourner ADB autour de AB; nous obtiendrons une figure AD'BD, isopérimètre avec ACBD, et dont Taire sera plus

grande que celle de cette dernière figure. Donc ACBD ne serait pas un maximum.

5° Une figure qui, avec un périmètre donné, a une aire maximum, est un cercle. Fig. 244. La remarque précédente fait voir que si ADBG est une

figure maximum, ADBD f en sera pareillement une. Fio. 245. Cela étant, soit ADBD' une pareille figure, composée de deux parties symétriques par rapport à AB.

Prenons, sur ADB, un point quelconque D; et soit D' le symétrique de D, relativement à AB ; menons DA, DB, D'AetD'B.

Si les angles D et D' ne sont pas droits, transformons le quadrilatère ADBD' en un autre adbd' ayant les côtés respectivement égaux à ceux du premier, et dans lequel les angles d et d* soient droits. D'après le théorème précédent, ce dernier quadrilatère sera plus grand que l'autre. Si donc nous apportons les segments AED, DFB, etc., en aed, dfb, etc., la figure aedfbg... sera plus grande que AEDFBG...; donc celle-ci ne serait pas un maximum.

Il résulte de là que la courbe AEDFB est le lieu géométrique du sommet d'un angle droit, dont les côtés passent par les points A, B. Donc cette courbe est une demi-circonférence.

Ainsi, dans la figure maximum ADBG, une moitié quelconque, déterminée par une droite telle que AB, est un demi-cercle. Donc' la figure entière est un cercle.

THÉORÈME XI

Entre toutes les figures équivalentes, le eercle a le périmètre minimum.

Si une figure quelconque F avait un périmètre moindre que le cercle C équivalent, on pourrait la transformer en

un cercle C, isopérimètre avec F, et plus grand que F. Ce second cercle C, plus grand que le cercle C, aurait donc un périmètre moindre que celui de G ; ce qui est absurde.

THÉORÈME XII

Il existe toujours une circonférence à laquelle est inscriplible un polygone] convexe dont les côtés sont respectivement égaux à des droites données (*).

Soit AB le plus grand des n côtés donnés ; soit le centre d'un très-grand arc BMA, passant par les points A, B, et situé, par exemple, au-dessus de AB. A partir du point B, inscrivons dans Tare BMA, les uns à la suite des autres, les n — 1 autres côtés BC , CD,... GH : si Tare BMA est suffisamment grand, la ligne brisée BCD...GH sera tout entière au-dessus de AB.

Actuellement, faisons mouvoir le centre jusqu'à ce qu'il passe au-dessous de AB : pendant ce mouvement, l'extrémité H de la ligne brisée se rapprochera du point A et finira par dépasser ce point, de manière à passer au-dessous deAB.

En effet, à mesure que le centre descend, l'arc AMB diminue ; et comme il a pour limite la droite AB, il finit par être plus petit que la ligne brisée BCD...GH : à ce moment, l'extrémité H de cette ligne brisée est donc sur le prolongement ANB de l'arc BMA, ou au-dessous de AB.

Remarquons à présent que, par la nature du mouvement dé H, ce point ne peut passer au-dessous de AB sans avoir

(•) On suppose, bien entendu, la plus grande des droites données moindre que la somme de toutes les autres.

coïncidé, à une certaine époque, avec le point À. Donc il existe une circonférence, et une seule, dans laquelle sera inscriptible le polygone convexe ABC. . .GA, ayant ses tàliè respectivement égaux à des droites données (*).

Remarque. La grandeur de la circonférence circonscrite est indépendante de Tordre dans lequel sont disposés les côtés du polygone.

THÉORÈME XIII

Entre tous les polygones formés avec des côtés donnés, le maximum est le polygone convexe inscriptible.

Fw. 246. Soient deux polygones ABCDE, abcde, équilatéraux entre eux, et dont le premier est inscriptible (Th. XII). Apportons les segments AMB, BNC,... en amb, bnc...; nous formerons une figure am&nc.,., de même périmètre que le cercle AMBN... et plus petite que ce dernier (Th. X). Donc, à cause des parties communes, le premier polygone est plus grand que le second.

THÉORÈME XIV

Entre tous les triangles isopérimètres et de même base , le maximum est le triangle isocèle.

Fig. 247. Soient le triangle isocèle ACB et le triangle non isocèle AC'B, qui ont même base AB, et dans lesquels AC+CB=AC' + C'B.

Prolongeons AC d'une quantité égale CE ; menons EC' et EB. Nous aurons

(*) Cette démonstration est due à M. Prouhet.

AC'+C'E>ÀE, ou AC'+C'E>AC+CB;

ou enfin C'E>C'B.

L'oblique CE étant plus grande que l'oblique C'B, il s'ensuit que le point C est situé entre le point B et la perpendiculaire CF élevée au milieu de EB ; donc

CD>C'D', ou ACB>ÀC'B.

THÉORÈME XV

Entre tons les polygones isopérimètres et <Tun même nombre de côtés, le polygone maximum est éqailaléral.

Si, dans le polygone ABCDEF, les deux côtés consécutifs Fig. 248. AB, BC sont inégaux, nous pourrons remplacer le triangle ABC par le triangle isocèle AB'C, isopérimètre avec le premier. D'après le théorème précédent, nous aurons AB'OABC; donc le polygone AB'CDEF, isopérimètre avec ABCDEF, sera plus grand que celui-ci. Le polygone maximum entre tous ceux qui ont un périmètre donné est donc équilatéral.

THÉORÈME XYI.

Entre tons les polygones isopérimètres et d'un même nombre de côtés , le maximum est le polygone régulier.

En effet, ce polygone maximum est en même temps équilatéral (Th. XV) et inscriptible (Th. XIII).

JgO THÉORÈMES ET PROBLÈMES

THÉORÈME XVII

Entre tons les polygones équivalents el d'an même nombre de côtés, le polygone régulier a le périmètre minimum.

La démonstration est la même que celle du Théorème XL

THÉORÈME XVlll.

De deux polygones réguliers isopérimètres, le maximum est celui qui a le plus grand nombre de côtés.

Soient deux polygones réguliers isopérimètres, l'un de n côtés, l'autre de n-j-1 côtés.

Prenons un point sur l'un des côtés du premier polygone; nous pourrons considérer cette figure comme un polygone irrégulier de n + 1 côtés; donc, par le Théorème XVI, elle est plus petite que le second polygone régulier donné (*).

THÉORÈME XIX

De tous les triangles inscrits dans un même segment, le maximum, en surface et en périmètre, est le triangle isocèle.

Km. 249. Soient le triangle isocèle ACB et le triangle scalène AC'B, inscrits dans le segment ACG'B, et ayant pour base commune la base AB du segment. Il est d'abord évident que AGB, qui a pour hauteur la hauteur du segment, est plus grand que AC'B.

Pour démontrer que AGB a aussi le périmètre maximum,

(*) Cette démonstration, remarquable par sa simplicité, est due à M. Sleiner, ainsi que celle du Théorème X. (Voyez Journal de UouviUe, tome VI.)

décrivons, du point C comme centre, la circonférence ABD ; prolongeons AC f jusqu'à sa rencontre en D avec cette ligne; enfin, menons DB.

L'angle D, qui a son sommet à la circonférence, est moitié de l'angle ACB ; donc il est moitié de l'angle AC'B. Il résulte de là que le triangle BC'D est isocèle, et que AD=AG'H-BC. Or, la corde AD est moindre que le double du rayon AC ; donc