AC'+BC/<AC+BC
THÉORÈME XX
Entre tous les polygones d'un même nombre de eôtés, inscrits à un même cercle) le maximum, en surface el en périmètre, esl le polygone régulier.
La démonstration est la même que celle du Théorème XV.
THÉORÈME XXI
De deux polygones réguliers, inscrits dans un même cercle, celui qui a le plus grand nombre de côtés est le plus grand en surface.
Soient AB, AC les côtés de deux polygones réguliers, Fig. 250. l'un de n côtés, l'autre de n-hl côtés, inscrits dans un même cercle de rayon AO. Menons BO et CO.
Le premier polygone se compose de n triangles, égaux à ABO, et le second polygone se compose de n+1 triangles, égaux à ACO. Cela étant, je dis que Ton aura (n+1) ACO >n ABO.
Les deux triangles ABO, ACO ayant même base AO, sont entre eux comme leurs hauteurs BB', CC; et l'inégalité précédente revient à
(n-hl)CC>NBB'.
Projetons B et G sur le rayon perpendiculaire à OA* et il nous suffira de faire voir que l'on a CC'>nB' / C ,, .
Les arcs AB, AC sont respectivement £ et —^ de la circonférence; donc
arcBC=î-^= ir{ ^ T) de cette même circonférence, et
arc BC= - arc AC-
Portons Tare BC sur l'arc AC, et soient D, E... les points de division. En projetant ces points, nous aurons, ainsi qu'il est aisé de le prouver,
d'où, en ajoutant, C"0>nB"C", ou enfin CC'>nB"C".
THÉORÈME XXII
De deux polygones réguliers, inscrits dans an même cercle, celai qui a le plus grand nombre de côtés a le plus grand périmètre.
Vig. 25i. AB étant le côté d'un polygone régulier de n côtés, soit p n le périmètre de cette figure. Divisons Tare AB en deux parties égales par le rayon OC, et menons AC, qui sera le côté du polygone régulier de 2n côtés. Soit P^ l'aire de ce polygone.
On a p n =n AB. D'ailleurs, le quadrilatère ACBO a pour mesure JaB.OC^R.AB; donc
DE GÉOJIÉTRIE ÉLÊMBIÏTAI&B. 413
P în =iR.nAB.
Ces valeurs donnent p„= g P s ».
Nous venons de voir que P tn augmente avec n ; de plut, le facteur ^ est constant ; donc, etc.
THÉORÈME XXUL
De tous les triangles qui ont même hauteur et même angle opposé à la base , le plus pelit est le triangle isocèle.
Soient le triangle isocèle ACB et le triangle scalèneFiG. 252. A'CB', qui ont même hauteur CD, et dans lesquels les angles ACB, A'CB' sont égaux entre eux. Je dis que la base AB du premier est moindre que la base A'B' du second.
Ces deux bases ont une partie commune A'B; donc il suffit de faire voir que Von a AA'<BB'. Faisous tourner le triangle ACA' autour de CD, de manière qu'il vienne prendre la position BCE. Alors, à cause de l'égalité des angles BGB', ACA', il arrivera que BG sera la bissectrice de l'angle ECB'. Nous' aurons donc
BE
Bii'
