BOC=B'OC

Il résulte de là que les deux triangles BOC, B'OC peuvent être regardés comme ayant même hauteur et même angle opposé à la base ; donc, par le théorème précédent, B'C'<BC. Cette inégalité équivaut à

B'F'+F'C'<BF-T-FC;| d'où

B'E+BT'+F'C'+C'G<BE+BF+FC+;CG ; etc.

Ainsi, tant que le polygone considéré ue sera pas régulier, on pourra diminuer son périmètre, et par suite sa surface. Le polygone minimum est donc régulier.

DK 6É0HÉTEIB ÉLÉMINTA1RK. \ 85

THÉORÈME XXV

De deux polygones réguliers, circonscrits à un même cercle, eelui qui a le plus grand nombre de côtés est le plus petit, en surface et en périmètre.

En effet, un polygone régulier circonscrit, de n côtés, peut être regardé comme un polygone irrégulier de n+ 1 côtés ; donc, d'après le théorème précédent, il est plus grand que le polygone régulier circonscrit, de n-M côtés, etc.

D'un point quelconque C d'une circonférence, on abaisse une perpendiculaire CD sur le diamèire AB; on décrit, sur les deux segments AD, BD , pris comme diamètres, des demi-cercles AED, BFD. Quelle est la mesure de l'espace curviligne ACBFDE?

Cet espace se compose du demi-cercle décrit sur AB, Fig. 200. diminué de deux autres demi-cercles.

Conséquemment, en représentant par A Taire cherchée, nous aurons

A=g7r[AB— AD— BD]. Mais AB=AD + BD;

donc AB— ÂD — BDL=2AD.BD.

Et comme CD est moyenne proportionnelle entre AD etBD, l'expression précédente se réduit à