II. La relation B'— À'> j(B— A) peut, aussi bien que

l'inégalité P'— p'<j(P— p)> être obtenue par un calcul simple.

Connaissant le rayon R et l'apothème r d'an polygone régulier, trouver le rayon R r et l'apothème r' d'an polygone régulier isopérimètre, et d'un nombre double de côtés.

Soient AB le côté du premier polygone ; 0, son centre, Fig. S59. OA==R le rayon du cercle circonscrit; OD = r l'apothème. Prenons le milieu G de Tare AGB. Menons AC, GB; puis OA' perpendiculaire à AC, et OB' perpendiculaire à BG. Il est clair que la corde A'B' est moitié de AB, et que l'angle A'OB' est moitié de AOB; d'où il résulte que OA' sera le rayon R' du second polygone, et que OD' en sera l'apothème r' (*).

Cela posé, le point D' est le milieu de OD, et OA' est une moyenne proportionnelle entre OC et OD' ; donc

r'=I(r^R), R'=yRF.

Ainsi, le second apothème est une moyenne par différence entre le premier apothème et le premier rayon; et le second rayon est une moyenne par quotient entre le premier rayon et le second apothème.

Remarques. I. La flèche CD est égale à R— r ; et si, du point Opris comme centre, nous décrivons l'arc A 'EB, nous

(*) Cette élégante construction est due à feu M. Léger, chef d'institution à Montmorency. (Voyez Nouvelles Annales de Mathématiques, tome Y.)

494 THÊomJbus et problèmes

aurons R' — r'=ED'. Or, la corde A'Eest bissectrict de

l'angle CAD' ; donc, à cause de À'D' < À'C, on a

ED'<ÎCD', ED'<jCD,

ou enfin R'— r'<|(R— r).

Ainsi, la différence entre le second rayon et le seeond apothème est moindre que le quart de la différence entre le premier rayon et le premier apothème.

IL Les formules ci-dessus sont beaucoup plus simples que celles qui résolvent les Problèmes IV et V. Mais, ainsi que M. Vincent Ta fait voir, on peut ramener celles-ci aux premières. Prenons, par exemple, les deux relations

A'=/AB, B'= jJJJ.

Posons A=-j, B=i, A'=i, B f =^; et nous obtiendrons, par un calcul très-simple,

a'=fiï y b'=\(a'+b).

Connaissant les périmètres de deux polygones régalien inscrits , Tan de n côtés, l'autre de în côtés , trouver le périmètre du polygone régulier inscrit, de in côtés.

Nommons p, p', p" les périmètres successifs ; nommons P, P', P" les périmètres des polygones réguliers circonscrits, respectivement semblables aux premiers polygones. Nous aurons, par le Problème IV :

**=¥%£* p ,,a =Fp f .

DK GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE. 495

Si, entre les trois dernières équations, on élimine P' et F, on aura la relation cherchée.

Or, P'=^; d'où, en substituant, P ,/ =~^-;puis enfin

Remarques. I. Si, dans un cercle donné, on inscrit une série indéfinie de polygones réguliers, dont les nombres de côtés aillent sans cesse en doublant, on aura, en représentant par pi,p t , p 3 ,."P*-iî p*, Pjm-i,... les périmètres de ces polygones :

H. Cette formule peut être écrite ainsi qu'il suit :