IL

Si donc nous représentons généralement par m k le rapport du périmètre pjk+i au périmètre p k , nous aurons

™ I / 2mjfe-i

III. Si, au lieu d'éliminer P' et P" entre les équations cidessus, on éliminait p et p', on trouverait des résultats moins simples que ceux auxquels nous venons de parvenir.

PROBLÈME Vlll.

Connaissant les aires de deux polygones réguliers inscrits , l'un de n côtés, l'autre de in eôtés, trouver l'aire du polygone régulier inscrit, de An côtés.

Les formules du Problème Y donnent, par un calcul semblable k celui qui précède,

Remarques. I. La loi des aires est la même que la loi des périmètres.

II. Nommons A,, A„ A 8 ,... A* t , A*, A* +1 ,... les aires des polygones dont les périmètres ont été représentés par Pi* Pi> Ps,-; et nous aurons

puis, en appelant /* le rapport -*- 1 ,

A* Ajfc-i

x *=l/iîfe-

Connaissant les rayons R, R' de deux polygones réguliers isopérimètres, l'un de n côtés, Tantre de in côtés, trouver le rayon R"da polygone régulier isopérimètre, de An côtés.

Les formules du Problème VI donnent

tt ;;» R"(R4-R'L n " 2R

d'où, en général, ^=V — y^-

Remarques. I. Si Ton emploie les plus simples formules de la trigonométrie, on arrive, à l'aide de la relation précédente, à un résultat assez remarquable. En effet, les rayons Ri, R„ .... vont sans cesse en diminuant ; donc le rapport

gj, étant plus petit que l'unité, est égal au cosbius d'un cer-

tain arc «. Dès lors, |j = |/!±^=cos?; et, par

conséquent, 5£tL =C0Sr ?

DE GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE i\)ï

Cette conclusion est, du reste, évidente à l'inspection de la figure 259., En effet, §£=^=cosAOA'; donc, sèmblablement,

g = cos^,etc.

IL Multiplions entre elles les valeurs de tous les rapports : nous obtiendrons

R^h= R t . cos a . cos ï . cos ~ . . . cos ^.

Calculer les aires et les périmètres des polygones réguliers de 4, 8, 16,.., côtés, inscrits à on cercle donné.

Prenons pour unité le rayon de ce cercle, et commençons par déterminer directement les aires et les périmètres du carré et de l'octogone. Un calcul facile donne

A 1= =.2, A,=2^2, Pl =4|/2, p t =8[/W^; Nous obtiendrons ensuite, parles formules

\—\ / — =- * = =m,, eic.