AH
Conséquemment, Aa= jjp
On sait que AH=î R (^5—1), et que AM=R (Th. II); donc Aa=jR(/5-l) î ==î(3-^5) (*).
Cette valeur donne, pour l'expression du périmètre, p=10R(3— ^5).
2° Le polygone Aa Eh... se compose de vingt triangles égaux à AaO; donc l'aire de ce polygone sera égale au périmètre p multiplié par la moitié de l'apothème OP. Celui-ci a pour expression (Th. II, Remarque II),
«=|/R»-|ÂB 8 ==Rj/rr^I;
ou, en simplifiant,
a=jR/Ï0-2K5.
Conséquemment, P=jR 2 (3— 1/5)^0—2^, ou
Inscrire, à une circonférence donnée, un polygone régulier de trente-quatre côtés.
Fie. 241. Nous avons démontré ci-dessus (Th. VIII) qu'il est possible de partager la circonférence en dix-sept parties égales, au moyen de la règle et du compas. De là résulte imuiédiate-
(*) Il résulte de cette expression, ou de l'inspection de la 6gure, que Àa-f-AH=R. On reconnaît aussi que le côté Aa de notre polygone est égal à la plus grande partie du côté du décagone régulier convexe, partagé en moyenne et extrême raison.
ment, qu'à une circonférence donnée, on peut inscrire le polygone régulier de dix-sept côtés, et par suite celui de trente-quatre côtés. Pour plus de simplicité, nous nous occuperons seulement de ce dernier polygone.
Remarquons d'abord que si la circonférence C, de rayon R, est partagée en dix-sept parties égales, la corde 0A 8 , qui joint le point À 8 avec le point diamétralement opposé au point Ao, est le côté cherché. Or, nous avons (voyez p. 172),
OA, + OA 8 =P, 0A f . OA 8 =R (0A e - 0A 7 ), ou OA s .OA 8 =RN.
Lorsque P et N seront connus, ces deux équations détermineront OAj, côté d'un polygone étoile, et 0A 8 , côté du polygone convexe de trente-quatre côtés : 0A 8 est évidemment donné par la plus petite des deux racines.
Pour déterminer P et N, posons M — N=#, P — Q=x'; alors, x et x' étant supposés connus, nous aurons, en premier lieu
M— N=a, MN=R>, et ensuite P— Q = *', PQ=R*.
Enfin, x etx' sont donnés par les deux équations x— a'=R, £#'=4R 2 .
Nous pouvons maintenant nous proposer, soit la résolution de ces diverses équations, soit la construction à la-~ quelle elles donnent lieu.
Résolution. La première question i\e présente aucune difficulté : on obtient en effet, par les propriétés les plus simples de l'équation du second degré, les valeurs qui suivent :
sz—RJl-hV/ïî), a*=;R(-l+l/Ï7};
SOI mofttao» rr nomJbm
OA i =|R(-|-hV/Î7H-k r 34-2V / ÎT)-.
Cette dernière valeur, développée, devient OA 8 =c=
On peut réunir les deux termes : — 21^34—21^17, 2^34(17—1^17); et Ton obtient, finalement,
Fig. 264. Construction. Sur le rayon OA du cercle donné, pris comme diamètre, décrivons une circonférence ; élevons la tangente AD égale à 2 R ; joignons le point D au milieu C de OA, par la transversale DC; et soient E, E' les points où elle coupe la petite circonférence. Nous aurons
DE . DE / =Âîf=4R î , DE— DE'=R; donc DE=tf, etDE'=a'.
Sur ces deux segments DE, DE', décrivons les demi-circonférences DHE, DH'E'; menons, perpendiculairement à CD, la droite DF égale à R; joignons le point F aux centres G, G' des demi-circonférences DE, DE'; et soient H, H' les points où les droites de jonction coupent ces lignes. Il est facile de voir que FH = N et que FH'=P.
Actuellement, à cause de l'équation OA 2 .OA 8 =RN, et
(*) On peut encore réduire cette expression; car si Ton pose
4 y 34-f-î 1/Ï7— Kl70 - 26^17 = r, on trouve, par une méthode indiquée dans tous les Traités d'algèbre,
r=J/ 170-*-38V/iT.
Donc
*= g r[— 1+ V/Ï7+ 1/34— * VÏ7 - % y 17-+- 31/17— i^i70-f-3SV^T7j.
de GÉOMfraa éléhbhtahe. Î03
d'après ce qui a été dit ci-dessus, OA 8 , ou c, est égal au plus petit côté d'un rectangle équivalent à celui dont les dimensions seraient R et N. Nous devons donc, préalablement, chercher le côté du carré équivalent à cette dernière figure. C'est ce qui se fait en décrivant, sur DF comme diamètre, une demi- circonférence DLF, portant FH de F en K, élevant KL perpendiculaire à DF, et menant FL.
Décrivons maintenant, sur FH'=P comme diamètre, une nouvelle demi-circonférence FMH'; menons MN parallèle à FH' et distante de cette dernière droite d'une quantité égale à FL ; puis abaissons MP perpendiculaire à FH'.Nous aurons FP+PH'=P, FP.PH'=PM=RN; doncPF=c.
Remarque. A cause de l'imperfection des instruments et de la multiplicité des constructions, il est bien difficile, dans la pratique, que PF soit rigoureusement la corde du trente-quatrième de la circonférence. Aussi, lorsqu'il n'est question que d'un problème graphique, on doit préférer, à la construction précédente, la méthode des essais ou des tâtonnements.
Calculer, à moins de 0,0001, le rapport entre le côté du polygone régulier de trente-quatre côtés et le rayon du cercle circonscrit.
Reprenons l'expression
r — | L-i+ l/n-f- ^tt-îV/ïï-* V 17+3 \/i7+ Vm-wyVj-k |/a*+iy«J •
Afin d'arriver plus rapidement au résultat, nous appliquerons les logarithmes. Mais, comme on ne peut effectuer par leur moyen ni addition ni soustraction, nous calculerons séparément les diverses parties :
— HVÏ7-A, j/3*-2\/n=B, 17-+3Vl7=C, |/ 170— 26l/Ï7=D,
Les opérations prennent alors la disposition suivante :
Log. 17 » 1,230*4891 1 = 0,61522446
l/ÎY= 4,12310
|log. 17 = 0,61522446 Log. 26=1,41497335
Log.= 1,7979472
A = 3,123IO-h
2\/l7= 8,24620 34 — 2Vl7 = 25,75380 ^log.= 0,7054206 B= 5,072482
2\/Î7= 8,24620 34 -f- 2 vf7 = 42,24620 i|0g.= 0,8128944 E= 6,49972
11,29495 Log.= 1,0528846 -J= 0,5264423+ Log.2= 0,3010300+
Nous trouvons donc, pour le rapport cherché,
Cette valeur, bien qu'obtenue par l'emploi des logarithmes, est approchée à moins de 0,00001 ; car on trouve, par une autre méthode,
Calcoler, à moins de 0,0001, le rapport entre le celé du polygone régulier de dix-sept côtés et le rayon du cercle circonscrit.
On sait qu'en appelant c et C les côtés des polygones réguliers, de 2 n côtés et de n côtés, inscrits au cercle de rayon R, on a
Appliquons cette formule, en remplaçant g- par la valeur 0,18454, trouvée ci-dessus.
Nous aurons
puis Log. 2,18454=0,3393600
Log. 2,81546=0,2589867
Log. 0,18454=1,2660905
l,5652638=log.|.
On vérifie, par d'autres méthodes, que celte valeur est approchée à moins de 0,00001 .
Remarques. I. Nous avons vu, précédemment, combien est compliquée la construction du polygone régulier de trente-quatre côtés : il en est de môme pour le polygone de dix-sept côtés. Une construction approchée peut donc être
206 THÊOftfeKES ET PHOBlitKBS
utile. Or, si l'on compare la valeur ci-dessus avec celle qui donue le côté du triangle équilatéral inscrit, on reconnaît bientôt que le côté du polygone régulier inscrit, de dix-sept côtés, égale, à fort peu près, la demi-différence entre le côté du triangle équilatéral inscrit et le côté de l'hexagone régulier inscrit.
En effet, le rayon étant pris pour unité, le côté du triangle équilatéral = VZ= i ,73205, le côté de l'hexagone régulier— 1.
différence=0,73205.
Cette quantité diffère de C d'environ 0,001 ; donc, etc.
IL Si Ton appliquait la construction générale indiquée dans le Problème II, on arriverait à un résultat moins approché, mais assez curieux. On a, en effet, pour n=17 :
à=J|, puis £*= j, valeur rationnelle et fort simple.
Elle donne jc=0,37796. .., quantité qui surpasse C d'environ 0,02.
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