LIVRE V

THËORËMB I.

Dans tout angle Irièdre, les plans bissecteurs des angles dièdres se eonpent suivant une même droite.

Soient ASO le plan bissecteur de l'angle dièdre SA, et Fig. 207. BSO le plan bissecteur de l'angle dièdre SB. Ces deux plans se coupent suivant une droite SO, intérieure à l'angle trièdre. Un point quelconque M de cette ligne, appartenant à la fois aux deux plans ASO, BSO, sera également distant des trois faces du trièdre ; donc il appartient au plan bissecteur de l'angle dièdre SC, etc.

Remarques. L Le lieu des points tels que chacun d'eux soit également distant des trois faces du trièdre , se compose de la droite SO, et de trois autres droites SP, SQ, SR. Chacune de ces dernières droites est située, à la fois, dans un plan bissecteur intérieur, et dans deux plam bissecteurs extérieurs.

IL Coupons le trièdre S par un plan quelconque L, per-FiG. 268. pendiculaire à la droite SO. Soit A'B'G la section obtenue et soit 0' le point où la droite SO perce le plan L. Les . traces des plans bissecteurs intérieurs seront les droites A'0\ B'O', C'O'. Quant aux traces des plans bissecteurs extérieurs, ce seront des droites NT', P'M', MU', respectivement perpendiculaires aux premières. En effet, la droite N'P', par exemple, a été menée dans le plan L, perpendi-

culairement à la trace A'O' du plan ASO; donc elle est perpendiculaire à ce dernier plan ; donc le plan bissecteur extérieur, perpendiculaire au plan ASO, et passant par le point À', contiendra la droite N'P', etc.

Remarquons maintenant que les trois plans bissecteurs dont les traces sont P'M', N'M', A'O', se coupent suivant une même droite ; donc leurs traces doivent converger en un même point; donc A'O' prolongée passe en M'. Ainsi : tout plan , mené perpendiculairement à (intersection des trois plans bissecteurs intérieurs d'un trièdre y coupe les six plans bissecteurs suivant les trois côtés et les trois hauteurs dun mime triangle. (Voyez Th. I, Liv. I.)

III. Nous savons que les droites A'0',B'O r , C'O' sont les bissectrices des angles du triangle A'B'C (Th. I, Liv. II). Donc les traces des six plans bissecteurs d*un trièdre, sur un plan L perpendiculaire à V intersection des trois plans bissecteurs intérieurs, sont les six bissectrices du triangle suivant lequel ce plan coupe le trièdre.

Cette remarque peut recevoir son application dans certaines épures de Géométrie descriptive.

THÉORÈME IL

Dans loti angle trièdre, les plans menés par les arêtes et par les bissectrices des fiées apposées se eonpeat nivant ane même droite.

Fw, 369. Prenons, sur les trois arêtes, à partir du sommet, des distances SA, SB, SC, égales entre elles ; puis, faisons passer un plan par les points A, B, C.

Le triangle SBC étant isocèle, la bissectrice SM de l'angle BSC passera parle milieu M du côté BC. Donc la trace du plan ASM, sur le plan ABC. est Tune des trois médianes

du triangle AÔC. De même pour les deux plans BSN, CSP. Or, les trois médianes se coupent en un même point, etc. Rémarque. Si Ton considère, indépendamment des bissectrices intérieures SM, SN,SP, les bissectrices extérieures des angles BSC, ASC, BSA; puis que, par chacune de ces droites et par l'arête qui n'est pas avec elle dans une même face, on mène un plan; on obtiendra trois nouveaux plans qui, combinés avec les trois premiers, détermineront trois nouvelles droites SA', SB', SC\ Il est facile de reconnaître que, A' étant la trace de SA' sur le plan ABC, le point M est le milieu de AA'. De même pour SB' et SC.

Dans toat angle trièdre, les plans menés par les bissectrices des faces, perpendiculairement à ces faces, se coopent suivant une même droite.

Prenons sur les trois arêtes, à partir du sommet S, les Fie 270. distances égales SA, SB, SG; et menons le plan ABC. La bissectrice SM de la face BSC est perpendiculaire au côté BC, en son milieu M ; et il en sera de même des bissectrices SN, SP, à l'égard des deux autres faces. Conséquemment, les plans menés par ces droites, perpendiculairement aux faces correspondantes, ont pour traces, sur le plan ABC, les perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés du triangle ABC. Or, ces perpendiculaires se coupent en un même point ; donc, etc.

THÉORÈME IV

Les plans menés par les arêtes d'un angle trièdre, perpendiculairement aux faces opposées, se coupent suivant une même droite.

Soit ASM le plan mené par l'arête AS du trièdre S, per- Fig. 271 . pendiculairement à la face opposée BSC. Soit, de même,

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BSN le plan mené par BS, perpendiculairement k la fret ASC. Ces deux plans se coupent suivant une droite SO; et il s'agit de faire voir que le plan OSC est perpendiculaire àlafaceASB.

Par un point quelconque de la droite OS, menons un plan perpendiculaire à cette ligne ; et soit ABC le triangle déterminé par les intersections de ce plan avec les trois faces de l'angle trièdre. Menons les droites AOM , BON, COP, et joignons le point P au sommet S.

Le plan AMS, qui contient une droite perpendiculaire au plan ABC, est perpendiculaire à ce dernier plan ; d'ailleurs il a été mené perpendiculairement au plan BSC ; donc la droite BG, intersection des plans ABC, BSC, est perpendiculaire à AMS; donc elle est perpendiculaire h la droite AM, c'està-dire que cette dernière droite est la perpendiculaire menée, par le sommet A du triangle ABC sur le côté opposé BC.

Par un raisonnement semblable, on verra que BN est la perpendiculaire abaissée du sommet B sur le côté AG; donc (Th. I, Liv. I) COP est perpendiculaire à AB; donc le plan GSP est perpendiculaire à AB, etc.

THÉORÈME V

Dans tout trièdre, la somme des angles formés par les arêtes avec les bissectrice! des faces opposées est moindre que la somme des faces.

Fig. 272. Coupons l'angle trièdre S par un plan ABC, perpendiculaire, en un point M, à la bissectrice SM de la face BSC. Menons la droite AM , et prolongeons-la d'une quantité égale MA'. Enfin, tirons SA', CA', BA'.

Le quadrilatère ABA'C, dans lequel les diagonales se coupent mutuellement en parties égales, est un parallélo-

Dl Q*OMÉTIUR ÉLÉMBNTAIRK. 2i 4

gramme; donc CA'=AB, BA'=AC. En outre, SM est perpendiculaire au milieu de AA'; d'où il résulte que SA=SA'. On conclut de là que les deux trièdres SABC, SA'CB sont égaux entre eux. Or, dans l'angle trièdre SABA', la face ASA', double de ASM, est moindre que la somme des deux autres. Gonséquemment, asm< asb+asc

Ainsi, V angle formé pari 9 arête AS et par la bissectrice de la face opposée est moindre que la demi-somme des deux autres faces.

Cette propriété démontre le Théorème (Voyez Th. III, Liv. I).

THÉORÈME VI

La somme des dièdres d'an angle polyèdre convexe de n faces est comprise entre în et 2 (n— 8) dièdres droits.

D'abord, chacun des dièdres d'un angle polyèdre convexe est moindre que 2 droits ; donc la somme des n dièdres sera moindre que 2» droits.

En second lieu, si l'on fait passer des plans par une arête de l'angle polyèdre et par toutes les arêtes opposées, on décompose cet angle en n— 2 trièdres, dans chacun desquels la somme des dièdres est supérieure à 2 droits, etc.

THÉORÈME VII

Tout plan, parallèle à deux côtés opposés d'un quadrilatère gauche, partage proportionnellement les deux autres côtés.

Soient E,F les points où le plan MN, parallèle aux côtés Fig. 274. A9, CD, coupe les deux autres côtés AD, BC. Je dis que ae BF

ED FC*

212 raftORÈMBS BT PROBLÈMES

Faisons passer, suivant CD, le plan PQ parallèle à AB et à MN. Menons, parle point A, une parallèle à BC, et soient G, H les points où elle perce les plans MN, PQ. Enfin, tirons EG, DH : ces droites seront parallèles, comme étant les intersections de deux plans parallèles par un troisième plan. Conséquemment,

ae AG