SG SI

0U si sg— sr

Cette dernière proportion fait voir que le plan cherché doit partager en moyenne et extrême raison la hauteur SG de la face ÀSD.

Étant donné un parallélipipède dont tontes les faees sont des losanges égaux, on demande le volume de ee polyèdre, en fonction des diagonales des faees.

Ce parallélipipède, dont le cube est un cas particulier, Fig. 305. porte, en cristallographie 9 le nom de rhomboèdre, parce que le losange est aussi appelé rhombe.

Imaginons qu'au sommet À du rhomboèdre se réunissent trois angles plans égaux BAD, DAE, EAB ; et, pour fixer les idées, supposons-les obtus. Alors, si nous menons BD, DE, EB, ces droites seront les grandes diagonales des faces AC, AH, AF ; de plus, elles seront égales entre elles, puisque ces faces sont des losanges égaux.

Par ces droites, faisons passer un plan BDE; nous obtiendrons un tétraèdre ABDE équivalent au sixième du rhomboèdre.

En effet, ce tétraèdre est équivalent à la moitié de la pyramide quadrangulaire qui a pour base ABCD et pour

sommet le point B, el celte pyramide est le tien <h rfcom boèdre.

Nommons g la grande diagonale DE, et p la petite diagonale AH ; nous aurons

AB=AD=AE=J^g*+y r .

Par suite, et d'après la formule (A) trouvée ci-dessus (Prob.II), le volume du tétraèdre sera ^g*V%f—g l . Le volume du rhomboèdre est donc

V=\g*\T$f=tf.

Remarques. I. Le rhomboèdre que nous venons de considérer est appelé rhomboèdre obtus. Il est facile de voir qu'avec les mêmes faces on peut généralement former un autre rhomboèdre dans lequel les trois angles plans égaux qui se réunissent en un même sommet, sont aigus. Le volume de ce rhomboèdre aigu sera, d'après la formule précédente, en permutant les lettres,

IL Le premier rhomboèdre est toujours plus petit* que ta second, excepté quand p=g; alors le$ deux polyèdres se transforment en deux cubes égaux,

III. V deviendrait imaginaire si Ton avait 3p*<</*; donc le rhomboèdre obtus n'est possible que si le rapport de la grande diagonale à la petite est inférieur à K3.

DE «HfcMtfTWE «LtnVTAIU. 255

Étant donné un dodécaèdre dont tontes les faces sont des losanges égaux, on demande, en (onction de l'arête, le volume de ce polyèdre.

Ce polyèdre, que Ton rencontre dans la nature, est appelé dodécaèdre rhomboidal. Il est représenté dans la figure 506.

Imaginons que trois angles obtus , égaux entre eux , se réunissent par leur sommet commun G, de manière à for* mer un angle trièdre,

Parle point G, menons, dans l'intérieur de cet angle, une droite GS, également inclinée sur les arêtes. Prenons GA^=GB=GC=GS; achevons les losanges GI, GK, GL; puis, par les sommets A, I, B, K, G, L, menons des droites égales et parallèles à AS : les extrémités de ces lignes seront les sommets d'une ligne brisée DMENFP, égale à AIBKCL. Enfin, concevons que les plans PDM, MEN, NFB viennent se couper en un point H, opposé au sommet G; le polyèdre GH sera un dodécaèdre , décomposé en quatre parallélépipèdes. Si l'angle obtus AGB a été convenablement choisi, ces quatre parallélipipèdes seront, comme ou le reconnaît aisément, des rhomboèdres égaux entre eux, et le polyèdre GH sera le dodécaèdre rhomboidal qu'il s'agissait de construire.

Afin de déterminer l'angle AGB ou le losange AGBI, observons d'abord que , d'après la construction précédente , les trois angles dièdres ayant pour arête commune GS sont

égaux entre eux; donc chacun d'eux vaut les \ d'un angle

dièdre droit.

256 Trtoftfcns bt problèmes

Cela étant, faisons passer un plan suivant les sommets A , B , M ; nous détacherons du dodécaèdre le tétraèdre ABMI (fig. 307), dans lequel chacun des angles dièdres

AI, BI, MI est égal à ^ . Abaissons, du sommet I, la perpendiculaire 10 sur le plan du triangle équilatéral ABM. Abaissons aussi, des points B, M, les droites BT, MT perpendiculaires à l'arête AI : elles se couperont en un même point T, parce que les triangles AIB, AIM sont égaux; et comme l'angle de ces droites mesure l'angle dièdre suivant AI, nous aurons

BTM=J d =BOA.

Il suit de là que les triangles isocèles BTM, AOB soin

AB

égaux; donc, par une propriété connue, BT=BO=--^:

Enfin, si nous abaissons IU perpendiculaire sur AM, les triangles AIU, AMT donneront

ai iu