AM MT

Représentons par g la grande diagonale AB de la face AGBI, et par p la petite; nous aurons AM=AB=<jr, IU=îp, AI=-y^T7, MT=BT=^.; et la proportion précédente donnera

J / 5 5 +?==P> / 3; d'où 2=|/2.

Ainsi, dans le dodécaèdre rhomboïdal, les diagonales de chaque face sont entre elles comme \f% est à l.

Conséquemment, si Ton désigne par a l'arête du rhomboèdre, on aura

a=lV7+W=yrt;

puis p=! fl j/3, g=\aV§.

La formule trouvée dans le Problème VI donnera donc, pour le volume d'un des quatre rhomboèdres,

Multipliant cette quantité par 4 , nous obtiendrons définitivement, pour le volume cherché,

On prend, sur les arêles d'an cube, à partir des sommets, les distances El, EK, EL, AM... égales entre elles (fig. 308). On mène les plans AIF, HLF, AKH..., lesquels déterminent un polyèdre ayant pour faces vingtquatre quadrilatères égaux. On demande d'évaluer la surface et le volume de ce corps.

Le polyèdre obtenu par la construction qui vient d'être indiquée appartient, comme le rhomboèdre et le dodécaèdre rhomboïdal, à la cristallographie. On Ta appelé trapézoèdre. Il est représenté dans la figure 309.

Les six faces du cube sont situées de la même manière à l'égard du centre de ce polyèdre. Conséquemment, les vingt-quatre faces du trapézoèdre sont égales entre elles et également distantes de ce point; et les pyramides ayant pour bases les faces et pour sommet commun le centre, sont égales entre elles. Il suffira donc d'évaluer la base de Tune d'elles, ainsi que leur hauteur commune.

Prenons à part (fig. 510) le tétraèdre AIFO, qui a pour base la section AIF faite dans le cube par l'un des plans limitant le trapézoèdre. Désignons par a l'arête du cube, et par b la distance constante IE (fig. 508), laquelle est supposée

THtOftftMIS ET PROBLÈMES

moindre que \ a. Nous aurons, ainsi qu'il est facile de le voir,

AF=«K2, lA=W=\ftf+b\ OF=OA=?AG=iaK5; puis

OI=|/ > (Ja^) , + (Ja-»)'=|/j fl i flft + ^

Soit N (fig. 310) le milieu de AF; menons IN; abaissons OP perpendiculaire sur cette droite : OP sera la hauteur commune de nos pyramides. Abaissons aussi IQ perpendiculaire à ON. Nous aurons, dans le triangle OIN,

Or, dans la figure 308, ON est parallèle à HE; donc IQ=iEB=£aK2.

D'ailleurs,

\a f IN=|/îÊ +ÊN==|/V+ * a % .

donc OP=Iar2p 7 ^i X71 fe=.

Si nous menons IL et AH, nous aurons ~ = ^ = I| . ,, x m IE

a0U IA — ÏE+HE-

Ainsi, IR=^*^ + F.

Considérons maintenant en particulier le triangle isocèle AIF (fig. 311), dans le plan duquel est située une face du trapézoèdre. Le plan HLF (fig. 308) coupe AIF suivant la droite RF (fig. 311) ; et, si nous prenons IR'=IR, la droite HIV représentera l'intersection des plans AIF, HKA (fig. 308). De plus, le plan passant par les points B, M, E coupe le plan AIF suivant une droite qui contient N , et

DB eiOMfiTIIB ÉU*WiTAlIlE. 3fô9

qui est parallèle à IF. Si donc, par le point N (fig. 311), nous menons NF' parallèle fe FI, et NA' parallèle à AI, le quadrilatère NSUT sera, en vraie grandeur, l'une des faces du trapézoèdre.

Pour mesurer ce quadrilatère, représentons, pour abréger, AF par 2«, AI par /3, NI par fr, et IR par y. Nous aurons, en menant NX parallèle à FR,

ui ir T 2 T

d'où UI=^.

Les quadrilatères IRUR', NTUS sont évidemment semblables; donc

NTUS=IRUR' (gj) 1 .

Or, IRUR' a pour mesure Jui • RR'=s^ . 2«2= gL.

■ p+T p (p-nf)p

en appelant F l'aire d'une face.

Mais «=|a^2, /3=(/^+F; y^-^^i+F»,

do«c F=J I3 ^ 55J |^R2F.

Enfin, si nous multiplions cette quantité par

S *2 V'aM-Sfc**

nous aurons, pour le volume cherché , X-—J*

*~(a-t-6)(flH-aè)'

260 THÉORÈMES BT PROBLÈMES

Dans une pyramide quadrangulaire SABCD qoi a pour base un trapèze ABCD, on donne : 1° la face SAB; S les directions des arêtes parallèles AD, BC; 3° les angles de la face SGD; et Ton demande de construire la pyramide.

Fig. 512. Du sommet S, abaissons SP perpendiculaire au plan de la base, lequel est connu de position. Abaissons ensuite PQ perpendiculaire au côté inconnu CD, et menons SQ : cette droite sera la hauteur de la face SCD, laquelle est donnée d'espèce, mais non de grandeur.

Le rapport des segments CQ, DQ est donné ; si donc nous divisons le côté AB, au point E, dans ce même rapport, le point Q sera situé sur EE' parallèle à BC.

D'un autre côté, le rapport ~ est connu; donc si nous

supposons QR=QS , le point R sera situé sur une parallèle FF' à BC, passant en un point F déterminé par la propor-

so EF tl0n CQ = BË-

Menons PR et RS; nous aurons