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dans laquelle m, n, t sont des nombres donnés
et une longueur donnée 154
Peobl. LXXI. Étant donnés deux groupes de points, trouver le lieu des points tels, que la somme des carrés des dislances de chacun d'eux aux points du premier groupe, diminuée de la somme des carrés de ses distances aux points du second groupe, soit égale à un carré donné 154
— LXXII. Quel est le lieu dès points tels, que les tangeutes
menées de chacun d'eux à deux cercles donnés, soient eulre elles comme deux longueurs données? 155
— LXXHI. Quel est le lieu géométrique d'un point tel, que sa
distance à la base d'un triangle isocèle donné, soit moyenne proportionnelle entre ses dislances aux deux autres côtés? 156
— LXX1V. Quel est le lieu des points d'où deux cercles
sont vus sous des angles égaux? 157
— LXXV. Quel est le lieu des points tels, que les polaires de
chacun d'eux, par rapport à trois cercles donnés, se coupent en un même point ? 158
— LXXVI. Par un point donné A, on mène une transversale
qui coupe, en deux points B, C, une circonférence donnée 0. Par ces deux points, on mène les tangentes BT, CT, puis BD perpendiculaire à CT, et CE perpendiculaire à BT. Quel est le lieu despoints M de rencontre de ces perpendiculaires? 158
— LXXV1I. Étant données une droite fixe AB et deux perpen-
diculaires indéfinies AC, BD, on coupe ces dernières par une transversale quelconque EF ; on prend surAB un point P tel, que le rectangle des deux segments de AB soit équivalent au rectangle des deux segments déterminés sur les perpendiculaires ; puis, du point P, on abaisse PM perpendiculaire à EF. Quel est le lieu du point M ? 159
— LXXVIIl. Étant donnés deux points fixes A, BJet deux lon-
gueurs constantes X, p., on prend, sur la direction de AB, un point quelconque M qu'on regarde comme le centre d'un cercle décrit d'un rayon R, déterminé par la relation B.AB — X. AM + (a. BM. Prouver que les différents cercles, ainsi décrits
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pour les différents points II de b droite AB, sont tons tangents à deoi mêmes droites lies. . . . IfO LIIII P» Tan des points d'intersection de deux circonférences o, </, on mène dent droites rectangugnlaires Va, P«\ qui reneontrent la ligne des centres en a, a', et les deux circonférences en 6, c et y, e*. Il s'agit de démontrer qu'on a ton-
^ ars ï=i^ lf0
— UXX* Étant donnés deux axes fixes Ote, Oy, antonr d'an
point fixe P, on fait tourner nn angle a?b de grandeur donnée «. On demande jde prouver qu'il existe sur t'aie Ox un point fiie A, et sur l'axe On un point fit e B, tels que le rectangle des segments Aa, Bo reste constant pour toutes les positions de l'angle 1*1
— LXXXI. Par un point O, pris sur te prolongement d'un
diamètre BA dn cercle C, on mène une sécante quelconque OMM'; on prend les milieux If, W des arcs AM, AM'; on joint le centre C aux points IV, N', par les droites CN, CN', lesqnelles rencontrent en D, IV la perpendiculaire menée au diamètre AB par le point O. Prouver que le rectangle de OD par OD* est constant, quelle que soft la direction de la sécante 16*
— LXXXII. Prouver qu'il existe, sur la ligne CC' des centres
de deux cercles qui ne se coupent pas, deux points CC satistaisantanx relations CO. OT— R*, r/O. CO* — R* 1 , dans lesquelles R, R' désignent les rayons 163
— LXMlfl. Prouver qn'il esiste, sur la ligne des centres de
denx cercles intérieurs l'un a l'autre, deux points tels, que les distances de chacun d'eux aux extrémités d'une corde commune, perpendiculaire à la ligne des centres, sont dans un rapport constant 164
— LXXXÏV. Étant donnés un cercle C et une droite, on con-
struit la polaire ABBI' d'un point quelconque M pris sur cette droite. Sur MM', comme diamètre, on décrit une circonférence qui coupe en P, I" la perpendiculaire CD abaissée du centre sur la 'droite. Démontrer que les points P, P' sont fixes. 165
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LIVftE IV.
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THéfofc. I. Dans tout pentagone régulier, te* diagonales se
coupent mutuellement en moyenne et extrême
raison 167
— tt. Le côté du décagone régulier étoile inscrit est égal
au côté du décagone régulier inscrit, augmenté du rayon 167
— III. Si, sur les dent segments AC, BC du diamètre AB
d'un cercle O, on décrit, dé part et d'autre de cette droite, deux detat-circouférences ADC, CBB, la ligne ADGEb, formée par l'ensemble de ces deux demi-ci reonfèrehees, partage le cercle eta deux segments proportionnels aux deux segments du diamètre 169
— tV. Si deux arcs ont une somme moindre que la demi-
circonférence, le rectangle de leurs cordes est équivalent à celui qui aurait pour dimensions le rayon et l'excès de la corde du supplément de la différence des arcs sur la corde du supplément de leur sommé 169
— V. Si deux arcs ont une somme plus grande que la
demi-circonférence, le rectangle de leurs cordes est équivalent à celui qui aurait pour dimensions le rayon et la somme des cordes du supplément de la différence et du supplément de la somme de ces arcs 170
— Vï. . Une circonférence étant partagée en un nombre
impair de parties égalés, si Ton joint le point diamétralement opposé à l'un des points de division avec tous ceux qui sont situés sur la même demi-circonférence, le produit des cordes ainsi menées est égal à une puissance du rayon marquée par le nombre des cordes 171
— VU. Une circonférence étant partagée en un nombre
impair de parties égales, si l'on joint le point diamétralement opposé à celui dont l'indice est zéro avec les points dont les indices sont les termes do la progression 1, 2, 4, 8..., le produit des cordes ainsi menées sera égal à une puissance du rayon marquée par le nombre des bordes • 171
