OE
Il faut donc, pour résoudre le problème, partager le rayon OB en deux segments BE, OE, dojit le rapport soit h moitié du rapport donné, etc.
Quelle est l'étendue A de la partie de la surface du globe, visible pour un aéronaute placé à une hauteur h au-dessus du sol? Fig. 345. Si Ton conçoit un cône DCG circonscrit à la sphère terrestre 0, et dont le sommet C soit l'œil de l'observateur,
DE OgôUfiTlUB fiLtoHSftTAIltë' 3*9
le petit cercla DG séparera la zone yisjblo DBG da la 3011e invisible DAG. Nous aurons donc, en désignant pair R le rayon de la terre, et par x la hauteur BE de la zone cherchée,
A=27rRa?.
Menons le rayon OD; nous aurons aussi, dans le triangle rectangle CDO :
Cette équation dppne #=53^ 5
d'où A=2 7 rR/i g ^ ; . (1)
Pour réduire cette formule en nombres, on observera que la circonférence de la terre, supposée sphérlque, est égale à quarante millions de mètres, et que, la hauteur h étant presque toujours une petite fraction du rayon terrestre, on pourra, du moins pour une première approximation, négliger h dans le diviseur. On aura donc, à fort peu de chose près,
A=40 OOO 000 ft mètres carrés, ou A=(4000ft) hectares, (2)
la lettre h représentant maintenant le rapport entre la hauteur donnée et le mètre.
Pour obtenir une formule plus rapprochée, il suffit de remplacer
par ce développement (imité à un certain tenne, au second terme, par exempte.
Comme application, supposons ft=5000 : la formule (2) donnera
A=20 000 000 hectares.
320 THÉORÈMES BT PROBLÈMES
Cette valeur est trop grande : pour la corriger, il faut la multiplier par 1 — ^. Or,
p 40000000 20000000 . , h ic.SOOO .
n— & — * > a0Ilt r— 20 ooo ooô * donc
A=(20000000— 5 OOOtt) hectares =19 984 292 hect. Cherchons à quelle hauteur l'aéronaute devrait s'élever pour apercevoir une zone terrestre équivalente à la surface de la France. D'après M. Bravais (*), la superficie de notre territoire est de 52 768 600 hectares ; donc, par la formule (2),
Pour avoir une valeur plus exacte, résolvons, par rapport à fc, l'équation (1); nous aurons
d'où, à fort peu de chose près,
fc= iêR( 1 +ï4ï)-
Le facteur ^^ est précisément la valeur de h que nous avons obtenue tout à l'heure; donc
. fc-«io«(i+!H=i-i5i«(i+aaw-
On a logi5192 = 4,1205106
21ogl5192 = 8,2406212
+log7r = 0,4971499
- log 20 000 00 0=— 7,5010500
logy = 1,4567411
fc=15219.
(') Patria, tome I ,r , page 9.
Ainsi, pour embrasser toute la France dans son horizon , l'aéronaute devrait s'élever à une hauteur d'environ 13219 mètres,
Par les extrémités de deux rayons OA, OC, on mène les tangentes AD, CD, lesquelles se eoupent en D. On demande d'exprimer, en fonction du rayon R et de la projection AE de l'arc APC , les volumes des corps engendrés par le triangle AOC, par le segment ACF, et par le triangle ADCF, lorsque ces trois figures tournent autour du rayon OA.
Menons OD : cette droite sera perpendiculaire au milieu Fie 546. de la corde AC. Soient ensuite CE=#, AD=t/, AE=h. Nous aurons d'abord
vol. AOC=v = i7rR# 2 ;
vol. ACF=v'=?7rR 2 /i — v;
vol. ADGF=v"=vol. ADCE- vol. AFCE
=\ izh (x>+ xy+ f) — \ 7rz 2 fc- 1 Trfe 3 .
La perpendiculaire CE est moyenne proportionnelle entre les deux segments du diamètre; donc rc 2 =/i(2R— h).
Les deux triangles semblables ADG, CAE donnent ^=p§ »
AC Rft
Par suite, i>=Î7rR/i(2R— h), v'=lnRh\
„ i RW
Remarque. Si h=R, auquel cas les deux rayons OA, OC sont perpendiculaires entre eux, on a
325 ttrtORÊMRS Et PROfiLfeSES
Ainsi, dans ce cas particulier, les trois corps proposés sont équivalents entre eux, et chacun d'eux est le quart de la sphère.
Calculer le volante d'une lentille biconvexe ACBC, connaissant son épaisseur CG r , el les rayons R, R' des sphères 0, 0'qtri en foraient les deux faces.
Fie 347. Si la figure GAG' tourne autour de 00', les demi-segments circulaires CAD, CAD engendrent deux segments sphériques, dont l'ensemble constitue la lentille.
Désignons par ft, h' les hauteurs CD, CD, et par V le volume cherché ; nous aurons d'abord
V=i ttÂD (M- *')+ \n (ft 3 + h%
ou V=Îtt(/i + /i')[3ÂD + /i 2 +A /2 — hh'].
Menons les rayons OA, O'A, et appelons d la distance des centres 0, 0'; nous aurons, dans le triangle OAO' :
\ AD . d==j^(RH-R'H-d)(R+R'-d)(R+d-RO(R , ^d~R);
«roi, -m U^^^'-^ -iK-wn
Dans le même triangle,
