OB=OD^=R

Cette valeur de OB donne

ÂB — 4 R5R ' âtLa rr ' s

BC=|S| 7 , B'C=^?;=BC; puis

V= 5 " pfS? t 4 (R»+R'»+RR)- 3 (RM- R'»)-!* BR'J ; ou enfin M-CT'

Remarque. Nous avons trouvé, par le calcul, BC=B'C : il est facile de vérifier, géométriquement, que ces deux segments sont, en effet, égaux entre eux.

DK GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE. 325

Le litre, qui sert à mesurer les liquides, csl un cylindre dans lequel la hauteur est double du diamètre de la base» el dont la capacité est de 1 décimètre cube. On demande de calculer, à moins de -^ de millimètre , les dimensions de ce corps.

Prenons pour unité le décimètre, et représentons par h la hauteur du cylindre; nous aurons

«-.(jr*.

d'où »=p/H

Il s'agit de calculer cette expression, à moins de ^

A'vnité.

Multiplions les deux membres par 1000 : nous aurons

1000A=|/l6000000000x^; et il nous faudra calculer cette nouvelle quantité, à moins d'une unité. Le rapport du diamètre à la circonférence, représenté

par^, est compris entre 0,3183098 et 0,3183099 : si nous adoptons la première valeur, nous aurons 16000000000x^=5092956800.

Cette valeur peut différer de la véritable, d'environ 1600 unités. Mais cette erreur n'influe pas sur la racine cubique, attendu que celle-ci a quatre chiffres (*).

Extrayant donc la racine du plus grand cube contenu dans 5 092956800, on trouve 1000ft=1720; d'où /i = l d ,720=172 mm ,0.

C) Voyoz le Manuel du Baccalauréat es sciences.

326 TBÉOBfcMBS ET PBOBLBMBS

Ainsi, la hauteur du litre=172 ,nm ,0; et le rayon de la base=43"" B ,0.

Pour vérifier les calculs précédents, opérons par logarithmes ; nous trouvons

logi6 = 1,2041200 — logîr =—0,4971499

0,7069701 î=0,2356567=logfc /»=1,7205

Les angles d'an triangle sphériqoe sont, respectivement ,

A=48"I8', B=65"li', C=75°Î4'; le rayon de la sphère est R=0 m ,19. Trouver, à moins de 1 millimètre carré, la surface du triangle.

En prenant pour unités l'angle droit elle triangle trirectangle, on a, pour la mesure du triangle, T=A + B + C— 2.

D'après les données , la somme des trois angles est 184° 54; donc

Ainsi , le triangle proposé est équivalent aux ^ du

triangle trirectangle.

D'un autre côté, le centimètre étant pris pour unité, Taire de la sphère est 4tt(19) 2 ; celle du triangle trirectangle est donc ^7r(19) 2 . Par suite, Taire du triangle proposé sera

DE GÉOMÉTRIJJ ÉLÉMENTAUE. 397

En opérant par logarithmes, nous aurons

logTr « 0,49714987

log361 = 2,55750720

log49 = 1,69019608

— log 1800=— 3,25527251

loga = 1,48958064 «=30,873...

La surface du triangle est donc d'environ 3 087 millimètres carrés.

Circonscrire, à une sphère donnée, un cône droit dont la surface totale soit équivalente à celle d'un cercle donné (*).

Coupons les deux surfaces par un plan quelconque, pas* F IG * 349. sant suivant l'axe du cône : nous obtiendrons, pour sections, un triangle isocèle ASB, et un grand cercle CDE, inscrit à ce triangle ; en sorte que les deux corps dont il s'agit sont engendrés par le triangle rectangle CAS et le demicercle CDF, tournant autour de SC.

Représentons par R le rayon OC de la sphère, par a le rayon du cercle donné, par x le rayon AC de la base, par y la hauteur SC, enfin par % l'apothème AS du cône; nous aurons d'abord

f ÀC AS

l Les triangles semblables ACS, ODS donnent <jd = ôs>

(*) Ce problème appartient, à proprement parler, à V Application de V Algèbre à la Géométrie. La même remarque s'applique à quelques-uns des problèmes suivants.

328 TBÉOEfeMS IY

En prenant les mêmes triangles, et en observant que la tangente SD est moyenne proportionnelle entre SG et SE, nous aurons encore

La relation (2) donne 2=-^ — x. Au moyen de cette valeur, l'équation (1) devient ^-=a % ; et, à cause de Téquation (3), ^ tt = g*; d'où enfin

La somme des deux facteurs du premier membre est | ;

leur produit est 2a 2 . II faut donc, pour obtenir la hauteur SC du côue, construire un rectangle équivalent a 2«*, et

dans lequel la somme des deux dimensions soit égale à |-. La question est ainsi ramenée à un problème connu.

Remarques. I. Pour que le problème soit possible, il faut que Ton ait j^5>2a 2 , ou a*>8R 2 . Lorsque a 2 =8R*,

t/=~=4R, et la surface du cône est un minimum.

II. Lorsque t/ = 4R, les équations (3) et (2) donnent #=RK2, î5=3R|/2. Conséquemment, le cône de surface minimum, circonscrit à une sphère donnée, jouit des propriétés suivantes :

1° Sa hauteur est double du diamètre de la sphère;

2° Son apothème est triple du rayon de sa base ;

3° Sa surface est double de la surface de la sphère;

4° Son volume est également double du volume de celle-ci.

En effet, quand un polygone ABCD, circonscrit à une demi- Fie 350. circonférence EF et limité par un diamètre XY , tourne autour de celui-ci, le volume V du corps engendré et le volume V' delà sphère sont respectivement égaux aux aires correspondantes À, A', multipliées chacune par le tiers du rayon OE. Donc

Couper une sphère par un plan, de manière que le segment sphérique CAD ait, avec le secteur sphérique correspondant GADO, un rapport donné m.

Représentons par R le rayon delà sphère, par x la hau- Fie 351 . teurAE du segment, par y le rayon CE de sa base. Nous aurons

ou, en simplifiant,

3t/ 2 + s 2 =4R 2 ro. (1 )

D'un autre côté, la perpendiculaire CE est moyenne proportionnelle entre les deux segments AE, BEdu diamètre; donc

La substitution de cette valeur donne l'équation du second degré

x* — 3Ra?+2R 2 m = o, (3)

dont on construira facilement les racines. Quant à la discussion de cette équation, elle dépasse les limites que nous avons dû nous prescrire. La même observation s'applique aux problèmes qui suivent.

330 THéOltWS ET FEOPLlOlBS

A une sphère donnée, inscrire un cylindre ayant on rapport donné m avee la tomme des deux segments sphériqnes adjacents.

Fie. 352. Soient R le rayon de la sphère, x le rayon EC de la base du cylindre, y la moitié OEde la hauteur de ce corps. On aura

** a (R-2/)-Hj*(R-y) 5

= ro,

ou 6s«y =m (R - y) [5x* + (R - »)■]. (1)

D'ailleurs, dans le triangle rectangle OEC,a; 2 ==R , — t/ 1 : Féquation (1) devient donc

d'où, en supprimant le facteur commun R — y et en ordonnant :

|N-H»-jSïB««0. ( 2 )

Remarque. La suppression du facteur R — y équivaut à celle de la solution t/=R, solution qui, évidemment, ne convient pas au problème.

A une sphère donnée, inscrire un cône ABC équivalent au segment sphérique adjacent ABD.

Fie 353. Représentons par R le rayon de la sphère, par x le rayon de la base du cône, par y la hauteur DE du segment. Nous aurons

ou x % (4R — 5y)=y z .

DE GÉOMÉTRIE ÉLBHKMTÀIRE. 334

Et comme x est moyen proportionnel entre y et 2R— y :

En supprimant le facteur y et en réduisant, on trouve

2i/ 2 — 7Rt/ + 4R 2 =o.

Cette équation donne

La première valeur est plus grande que 2R ; elle doit donc être rejetée. La seconde seule satisfait à la question proposée.

Couper un triangle ABC par une parallèle DE à la base ÀB, de manière que les eorps engendrés par les deux segments CDE, ABDE tournant autour de celle base , supposée fixe , soient équivalents.

Soient CF=/i et CG=# les hauteurs du triangle ARC Fig. 354. et du triangle CDE. Il faut, d'après l'énoucé, que le corps engendré par celui-ci soit équivalent à la moitié du corps engendré par l'autre triangle.

Or, on sait que le corps engendré par un triangle tournant autour d'un axe situé dans son plan a pour mesure Taire de ce triangle, multipliée par la circonférence que décrit son centre des moyennes distances (*) ; donc

vo1.ARC=ARC.2t^, vol. CDE=CDE=27r^!=^.

On conclut, de ces deux valeurs,

ÀBC.&

CDE. (3&— 20?)" (*) Éléments de Géométrie, page 290.

Mais les triangles semblables ABC, CDE sont entre eux comme les carrés de leurs hauteurs h etx. L'équation devient donc

h 3 -=2x 2 (3h— 2x), ou 4r 3 — 6hx*+h*—o. (1)

Avec un peu d'attention, on reconnaît que cette équation

du troisième degré est vérifiée par x=^. Aiusi, la parai-

lèle DE à la base AB doit être menée par le milieu de la hauteur CF.

Remarque. Les deux autres racines de l'équation (1)

sont x=^fc(lq:K3) : elles ne satisfont pas à l'énoncé,"

mais il est facile de les interpréter.

Couper un triangle ABU par une droite AD, passant par le sommet À, de manière que les corps engendrés par les deux segments ABD, ACD, tournant autour d'un axe donné XY, situé dans leur plan , soient équivalents.

Fie 355. Des points A, B, C, D, abaissons des perpendiculaires sur XY. Nous aurons, comme dans le Problème XIII :

vol.ABD=ABD.2^ AV+B 3 B,+DD \ vol. ACD=ACD.2;r ™±™±™L-

Les deux triangles ABD, XCD, qui ont même hauteur, sont proportionnels à leurs bases BD, CD. Par conséquent, en exprimant que les deux volumes sont égaux, nous trouverons