DES MATIÈRES. XXXIII

Pages, plan, un point M tel, que la somme des distances AM, BM soit un minimum 219

Paobl.* II. Étant donnés un plan et deux points A, B, situés de côté et d'autre de ce plan, trouver, sur le plan, un point M tel, que la différence des distances AM, BM soit un maximum 210

— III. Trouver, sur une droite donnée, un point tel, que

la somme de ses distances aux deux faces d'un angle dièdre donné soit un minimum 220

— IV. Couper un angle tétraèdre par un plan, de ma-

nière que la section soit un parallélogramme.. 291

— V. Couper par un plan un angle trièdre trirectangle,

de manière que la section soit égale à un triangle donné 221

— VI. Étant donnés deux droites fixes et un angle

dièdre, que Ton fait tourner autour de son arête C, supposée fixe, prouver qu'il existe sur la première droite un point fixe A, et sur la seconde droite un point fixe B, tels que a et b étant les points où ces deux droites percent les faces de l'angle dièdre, dans une position quelconque, le rectangle des segments Aa, Bo soit constant. 222

— VII. Quel est le lieu des points également distants de

deux droites qui se coupent? 223

— VIII. Quel est le lieu des points tels, que la différence

des carrés des distances de chacun d'eux à deux points donnés, soit égale à un carré donné. . . 223

— IX. On donne n droites passant par un point O;

et l'on demande sur quelle surface sont situés les points M tels, que si l'on abaisse, de chacun d'eux, les perpendiculaires MP, MP', MP"..., sur ces droites, la somme des rectangles construits sur les distances OP, OP, OP".., et sur des longueurs données, soit équivalente à un carré donné 224

— X. On donne deux plans et un point A. Par ce

point, on fait passer une droite arbitraire qui coupe les plans donnés en des points C, D ; après quoi l'on construit le point B, conjugué harmo-

Pages.

nique du point A, relativement aux deux autres points. Quel est le lieu du point B? 115

Peobl. XI. Étant donnés un quadrilatère gauche et une droite qui partage proportionnellement deux côtés opposés de cette figure, trouver uue droite qui partage proportionnellement les deux autres côtés, et qui soit perpendiculaire, à la première droite .385

— XII. Une droite s'appuie sur deux cô,tés opposés d'un

quadrilatère gauche, en restant parallèle à l'un des deux plans directeurs. Une seconde droite s'appuie sur tes deux autres côtés opposés, en restant parallèle au second plan directeur. De plus, ces deux droites sont constamment perpendiculaires entre elles. De quelle nature est la, ligne décrite par leur point 4 l interseç|ion ? . 227

— XUI. Étant donnée deux points fixes A, B, et deux plans

fixes VY> XZ f on prend dans l'espace un point quelconque M; on mène la droite AM; on joint le point F, où elle perce le plan Y Y, avec le point J, par la droite PpB, laquelle perce le plan XZ au point p ; enfin on trace les droites BM, kp ; et l'on obtient ainsi un quadrilatère plan MPpm. Si le sonnet ftj (le ce quadrilatère décrit une droite CP, quel s^ra, le lieu décrit par le sommet m? 228

LIYRE YL

THfcoR. I. Tout plan, mené par les mjliçu; de deux arêtes opposées d'un tétraèdre, partage ce corps en deux parties équivalentes 231

— JJ. Dans, un parallélépipède quelconque, le produit de

l'ajre d'une face par la hauteur correspondante est constant 232

— III. Si une surface polyédrale convexe est terminée par

une ligue tyriséç, dont les côté* soient au ne soient pas dans un même plap, le nombre des faces, plus le nombre des sommets, égale le nombre des arê^s. plus \ 233

DBS IHffiftES. ft»V

Pages.

Thêo^. IV, ïfcwtam polyèdre convexe, te aombre des faces,

plus le nombre de» tonu»Qte> égale le nombre

^arôiasptya*. ....,,..? a${

— y. JX$m tout polyèdre convexe ; *° les faces d'uu

n,pm.\>re impair de côtés sont toujours en nombre pair; $? jeg sommets auxquels aboutissent un nombre impair arrêtes, §out toujours en nombre pair 234

— VI. Dans tout polyèdre convexe de F faces, le nombre

S des somme U et le nombre A des arêtes satisfont aux conditions

— YH- Dans tout polyèdre convexe, le nombre des faces

triangulaires, augmenté du nombre des angles trièdre$, donne une somme qui ne peut être inférieure M- • t i 33

— VJII, t« Tout polyèdre, convexe a des faces triangulaires,

ou quadrangulaires, ou peutagouales ; 9° tout polyèdre convexe ? des angles trièdres, ou, tétraèdres, ou penlaèdres 237

— . IX.. La somme des angles plans d'un polyèdre convexe est égale à autant de fois 4 drojt$ que le polyèdre a. de sommets moins deux 23g

— X. Dans tout polyèdre convexe, U somme des angles

polyèdres est équivalente à l'excès de la somme des angles, dièdres sur autant de fois 2 dièdres, droits que le polyèdre a de faces moins deux. . 239 -? X]. Ci \\ ne surface polyédrale convexe présente une seule ouverture, ayant m côtés non situés dans un même plan, on ppurra toujours fermer cette ouverture au moyen d'une surface polyédrale ayant au plus m — $ faces, de manière à obtenir un polyèdre conyexe fermé de toutes parts. . . 239

— $11. Si la surface d'un polyèdre convexe est partagée

en P parties séparées les unes (Jes autres par A arêtes formant E réseaux isolés, ei que S soit le nombre des sommets situés sur ces arêtes, on aura P-hS=A+ft + l 240

— XUI, Deux polyèdres convexes sont égaux lorsqu'ils

XXXYI

Thêoh. XIV.

Probl. I.

TàBLI

Pages, ont tontes leurs faces égales chacune à chacune,

et sembktblement disposées 941

1° Dans tout tétraèdre, les droites menées des sommets aux centres des moyennes distances des races opposées, se coupent toutes les quatre en un même point, centre des moyennes distances des sommets du tétraèdre. Ce poiut est situé aux trois quarts de chaque droite, à partir du sommet d'où elle est menée.

2° Dans tout tétraèdre, les droites qui joignent les milieux des arêtes opposées se coupent mutuellement en deux parties égales, au centre des moyennes distances des quatre sommets du tétraèdre au

Les droites qui joignent les sommets homologues de deux polyèdres semblables et semblablement placés, se coupent en un même point SU

Les centres de similitude de trois polyèdres semblables et semblablement placés sont en ligne droite SU

Les six centres de similitude de quatre polyèdres semblables et semblablement placés, sont dans un même plan 244

Dans tout tétraèdre, le plan bissecteur de chaque angle dièdre partage l'arête opposée en deux segments proportionnels aux aires des faces adjacentes 245

Déterminer la hauteur d'un tétraèdre dont les arêtes sont données 246

Calculer, en fonction des arêtes, le volume d'un tétraèdre 247

Couper un tétraèdre par un plan, parallèle à deux arêtes opposées, de manière que la section soit un maximum 250

Par les milieux de deux arêtes opposées d'un tétraèdre, on fait passer une infinité de plans. Quel est celui qui détermine la section la plus petite en surface? 251

Partager une pyramide quadrangulaire régulière en deux parties équivalentes, au moyen d'un plan passant par l'un des côtés de la base. . .252

DBS MATIÈRES. XXXYU

. Plgef.

Probl. VI. Étant donné un parallétipipède dont toutes les faces sont des losanges égaux, on demande le volume de ce polyèdre, en fonction des diagonales des faces 253

— VIL Étant donné un dodécaèdre dont toutes les faces

sont des losanges égaux, on demande, en fonction de l'arête, le volume de ce polyèdre. . . . 255

— VIII. On prend, sur les arêtes d'un cube, à partir des

sommets, les distances El, EK, EL, AM... égaies entre elles. On mène les plans AIF, HLF, AKH. .., lesquels déterminent un polyèdre ayant pour faces vingt-quatre quadrilatères égaux. On demande d'évaluer la surface et le volume de ce corps 257

— IX. Dans une pyramide quadrangulaire SABCD qui a

pour base un trapèze ABCD, on donne: 1° la face SAB ; 2° les directions des arêtes parallèles AD, BG ; 3° les angles de la face SCD ; et Ton demande de construire la pyramide 260

— X. Couper par un plan un prisme triangulaire donné,

de manière que ia section soit semblable à un triangle donné 261

— XL Sur les côtés d'un hexagone régulier ABCDEF, ou

élève six plans, perpendiculaires à celui de cette figure. On prend les arêtes non consécutives BB', , DD', FF', égales entre elles. Eunn, par chacune des droites. B'D', D r F', F'B', et par un poiut S, situé sur Taxe de l'hexagone, on fait passer des plans SB'C'D', SD'E'F', SF'A'B'. Comment doiton prendre le point S, pour que la somme des faces du polyèdre ainsi formé soit un minimum? 262

— XII. Partager un tronc de pyramide en parties propor-

tionnelles à des nombres donnés, par des plans parallèles aux bases .263

— XIII. Couper un cube par un plan, de manière que la

section soit un hexagone régulier 266

— XIV. Trouver le volume d'un polyèdre ayant pour faces

deux rectangles et quatre trapèzes 267

— XV. Déterminer le volume d'un polyèdre qui a pour

XXlTItl 11MM

. Ptgea.

faces deux polygones quefeonquei situés dans

deux plan* parallèles, et une 'série de triangles. 968