LIVRE I

THÉORÈME I

Les trois hauteurs d'un triangle se coupent en un même point.

Soit ABC un triangle quelconque, dans lequel AM, BN, Fig. 1. CP sont les trois hauteurs. Menons, par les sommets, des parallèles aux côtés opposés; nous formerons ainsi un triangle A'B'C dont les côtés seront, comme il est aisé de le reconnaître, doubles de ceux du triangle ABC. Les droites AM, BN, CP peuvent être regardées comme des perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés du triangle A'B'C; donc elles se coupent en un même point, centre du cercle circonscrit à ce dernier triangle.

THÉORÈME IL

Les médianes d'un triangle se coupent en un même point situé au tiers de chacune d'elles, à partir du eôté correspondant.

Après avoir mené les deux médianes BB' et CC, qui Fig. 3. se coupent en un «point 0, prenons les milieux D, E des deux droites OB, OC, et menons DE, B'C D'après un théorème connu, chacune de ces deux droites sera parallèle

2 THÉORÈMES BT PROBLÈMBS

au côté BC et égale à la moitié de BC ; donc B'G'DE est un parallélogramme; et, par suite, OB'=OD=ÎBB\ De

même, OG'=|CC'.

Deux quelconques des trois médianes se coupant en un point situé au tiers de chacune d'elles, à partir du côté correspondant, les trois médianes se coupent en un même point.

Remarque. Pour des raisons que nous indiquerons plus loin, le point de rencontre des trois médianes est appelé centre des moyennes distances ou centre de gravité du triangle.

THÉORÈME III

Dans tout triangle, la somme des médianes est moindre que celle des côtés.

Fie. 10. Prenons, sur la médiane GC prolongée, C'D=C'C, et menons AD, BD. Le quadrilatère AGBD, dans lequel les diagonales se coupent en leur milieu commun C, est un parallélogramme; donc AD— BG. Actuellement, dans le triangle CAD, on a