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THÉORÈME I

Les trois hauteurs d'un triangle sont les bissectrices des angles du triangle ayant pour sommets les pieds de ces droites.

Fig. 34. Soient AM, BN, ÇP les hauteurs du triangle quelconque ABC, lesquelles se coupent en un point Q. A cawse (les angles droits en M, N, P, les circonférences décrites sur les droites OA, OB, OC prises comme diamètres, passeront par les points M, N, P.

Cela posé , les angles OBM , OPM sont égaux , parce qu'ils ont pour mesure la moitié de Tare OM ; de même, les angles OAN, OPN sont égaux, comme ayant pour mesure la moitié de l'arc OP. Mais les angles OBM, OAN sont égaux, parce que chacun d'eux est le complément de l'angle C; donc OPM=OPN; donc la hauteur CP divise l'angle MPN en deux parties égales. On prouverait, de la même manière, que les hauteurs AM, BN sont les bissectrices des angles PMN, MNP.

Remarques. I. Le point 0, où se coupent les trois hauteurs du triangle ABC, est le centre du cercle inscrit au triangle formé par les pieds de ces droites.

II. Les sommets A, B, C du premier triangle sont les centres des cercles ex-inscrits au second.

III. Le triangle MNP est, parmi tous les triangles inscrits à ABC, celui dont le périmètre est minimum. (I, Prob. XL) On a ainsi une nouvelle solution de ce problème.

DE GÉOMÉTRIE ÉLÉJUWTAÏRB. 40

THÉORÈME II

Étant donné an triante quelconque ABC, si su* chacun de ses eôtés on construit extérieurement des triangles équilatéraux JPC\ BGY, CAB\ et si Ton mène les droites M\ BB r , CC : 4° ces trois lignes sont égales; 2° elles se coupent en an même point 0; 3<* les côtés du triangle donné ABC sont vus, de ce point, sons un même angle.

1° Dans les deux triangles BAB', CAC, AB = AC\ Fig. 46. AB'=AC. De plus, les angles BAB', CAC sont égaux, comme se composant d'une partie commune BAC et de deux angles égaux, CAB', BAC. Donc les deux triangles BAB', CAC- sont égaux entre eux; donc