VI TABLE

Pages, une droite qui soil divisée en deux parties égales

par ce point 6

Pjlobl. II. Trouver, sur l'un des côtés d'un angle, un point également distant du second côté et d'un point donné sur le premier côté > 6

— III. Construire un triangle, connaissant deux côtés et

une médiane.. 6

— IV. Construire un triangle, connaissant un côté etdeux

médianes 7

— V. Construire un triangle, connaissant les trois mé-

dianes -. . . 7

— VI» Construire un triangle, connaissant le périmètre et

deux angles, . 7

— VII. Construire un parallélogramme , èonnaissant les

deux diagonales et un côté 8

— VIII. Construire lin quadrilatère, connaissant les quatre

côté» et Tune des deux droites qui joignent les milieux des côtés opposés 8

— IX. Sur les prolongements des côtés AB, AC d'un trian-

gle donné ABC, on prend les deux distances BD, CE, de manière que leur somme soit égale au troisième côté du triangle, et Ton mène DE. Dans quel cas cette droite sera-t-elle un minimum? 9

— X. Trouver, sur une droite donnée J&, un point M

tel, que la somme de ses distances à deux points donnés C, D, situés d'un même côté de AB, soit un minimum 10

— XI. A un triangle ABC, inscrire un triangle MNP de

périmètre minimum u

— XII. Quelle route doit suivre une bille M pour rencon- - trer une autre bille N, après avoir touché les

quatre bandes dn billard? il

— XIII. Quelle route doit suivre une bille pour revenir au

point de départ, après avoir touché les quatre bandes du billard? 12

— XIV. A un quadrilatère quelconque ABCD, inscrire un

quadrilatère MNPQ de périmètre minimum. . 12

— XV. Trouver, sur une droite donnée AB, un point M

tel, que la différence de ses dislances à deux points donnés C, D, situés de part et d'autre de AB, soit un maximum u

DES MATIÈRES. Vit

Pagei.

Pbobl. XVI. Trouver, sur le côté AB 4'on triangle, un poittl

tel, que la somme de ses distances aux deux

autres côtés soit unXminimuin 14

— XVIK Trouver, dans le plan d'un triangle, un point tel,

que la somme de ses distances aux trois côtés du triangle soit un minimum 15

— XVUI. Trouver le lien des points tels, que la somme des

distances de chacun d'eux à deux droites données soit égale à une longueur donnée. . * . . 16

LIVBK II.

Théob. I. Les trois hauteurs d'un triangle sont les bissectrices des angles du triangle ayant pour sommets les pieds de ces droites 18

— II. Si sur les côtés d'un triangle ABC, on construit

extérieurement des triangles équilatéraux ABC, BCA', CAB', et si l'on mène les droites AA', BB', GC : 1° ces trois lignes sont égales; 2° elles se coupent en un même point ; 3° les côtés du triangle donné ABC sont vus, de ce point, sous un . même angle 19

— III. Les bissectrices des angles intérieurs d'un qua-

drilatère forment un quadrilatère inscripUble. . 19

— IV. Les bissectrices des angles formés par les côtés op-

posés d'un quadrilatère inscrit, sont perpendiculaires entre elles 20

— V. Les circonférences qui ont pour cordes les côtés

d'un quadrilatère inscripUble donnent lieu, par leurs secondes intersections, à un quadrilatère inscripUble A'B'C'D' 21

— VI. Les pieds des perpendiculaires abaissées, d'un

point d'une circonférence sur les côtés d'un triangle inscrit, sont situés sur une même droite. 21

— VII. Si, du sommet B d'un triangle équilatéral inscrit,

on mène une corde quelconque BD qui coupe le coté AC, et qu'on joigne les deux autres sommets A, C au point D, on aura BD— AD -+- CD. . . . 22

— VIII. Si, par les sommets d'un triangle, on fait passer

trois circonférences se coupant deux à deux sur les côtés du triangle, ces trois lignes passeront par un même point 22

Théor. IX.

Probl. I.

TABLE

Pages.

Si, par Tan des deux points d'intersection de

deux circonférences, on mène deux diamètres, les extrémités de ces droites, et le second point

d'intersection, sont en ligne droite 33

Si, par le point de contact de deux circonférences, on mène deux cordes communes, les droites qui en joignent les extrémités sont parallèles sa

Si, par le point d'intersection de deux circonférences, on mène deux cordes communes, les droites qui en joignent les extrémités font entre elles un angle constant 24

Si, à un cercle inscrit à un angle, on mène des tangentes intérieures ou extérieures : 1° les tangentes intérieures AB détermineront des triangles ayant même périmètre ; 3° les tangentes extérieures CD détermineront des triangles dans lesquels l'excès du demi-périmètre sur le côté CD sera constant ; 3° en joignant te centre aux extrémités des tangentes extérieures ou intérieures, on formera des angles constants pour chaque espèce de tangentes; 4° les angles au centre, pour la tangente extérieure et pour la tangente intérieure, seront supplémentaires 34

1° Les segments déterminés sur les côtés d'un triangle par les points de contact du cercle inscrit et d'un des cercles ex-inscrits sont égaux, chacun, au demi -périmètre moins un côté; 2° la somme de ces segments est égale au demi-périmètre 25

Etant donnés une circonférence et un rayon prolongé OA ; si au point A on mène une perpendiculaire AB à ce rayon, et une sécante ADE à la circonférence, puis que, par les points d'intersection D, E, on mène des tangentes DC, EB, ces tangentes détermineront, par leurs intersections avec la perpendiculaire, deux distances égales AB, AC 36

Trouver la bissectrice de l'angle de deux droites qu'on ne peut prolonger 37

DBS MATIÈRES. IX

Pages.

Pbobl. H. Deux circonférences qui se coupent étant données,

# mener, par Tan des points d'intersection, une

sécante commune qui ait une longueur donnée. 87

— III. Inscrire, entre deux circonférences données, une

droite parallèle à une droite donnée et qui ait une longueur donnée 18

— IV. Par deux points donnés sur une circonférence,

mener deux cordes parallèles dont la somme soit donnée 88

— V. Construire un quadrilatère, connaissant deux

angles opposés, les deux diagonales et leur angle 19

— YI. Inscrire, à un carré donné, un autre carré donné. »

— VII. Construire un triangle, connaissant les pieds des

trois hauteurs 30

— - VIII. Construire un triangle, connaissant la base, la

hauteur et l'angle au sommet 30

— IX. % Construire un triangle, connaissant un angle, la

hauteur correspondante et le rayon du cercle inscrit 30

— X. Construire un triangle, connaissant la base, la

somme des deux autres côtés, et un angle à la

— XI. Construire un triangle, connaissant la base, la

différence des deux autres côtés , et un angle à la base 3f

— XII. Construire un triangle, connaissant un angle à la

base, la hauteur et le périmètre 31

— XIII. Construire un triangle, connaissant la base, l'an-

gle opposé et la somme des deux derniers côtés 32

— XIV. Construire un triangle, connaissant la base, l'an-

gle opposé et là différence des deux derniers côtés 38

— XV. Construire un triangle, connaissant la base et le

cercle inscrit. . . . ! 33

— XVI. Construire un triangle, connaissant le cercle in-

scrit, et l'un des trois cercles ex-inscrits. . . . 33

— XVII. Construire un triangle, connaissant deux des trois

cercles ex-inscrits 33

* ftttft

Pages.

Pbobl. XVIII. Construire un triangle, connaissant les centre»

des trois cordes ex-inscrits 33

— XIX. Construire un triangle, connaissant la base, l'an-

gle opposé et le rayon du cercle inscrit 34

— XX. Construire un triangle, connaissant la base , la

somme des deux autres côtés, et le rayon du cercle inscrit • 34

— XXI. Construire un triangle, connaissant la base, la

différence des deux autres côtés, et le rayon du cercle inscrit 35

— XXII. Construire un triangle, connaissant le périmètre,

un angle, et le rayon du cercle inscrit 35

— XXIII. Construire un triangle, connaissant le périmètre,

un angle, et la hauteur abaissée du sommet de

cet angle sur le côté opposé . 36

- — XXIV. Construire un triangle équilatéral ayant ses sommets sur trois parallèles données 37

— . XXV. A un triangle donné , circonscrire un triangle

donné 37

— XXVI. A un triangle donné, circonscrire un triangle

équilatéral maximum. 38

— XXVII. Par un point donné, mener une sécante qui forme, .

avec les deux côtés d'un angle donné, un triangle dont le périmètre soit donné 38

— XXVIII. Etant donnés un iriangle ABC et un point 0, me-

ner par ce point une sécante OMN telle, que le segment MN compris dans l'angle A soit égal à la somme des deux segments BM, CN. .... 39

— XXIX. Inscrire, dans l'angle A d'un triangle ABC, une

droite DE de longueur donnée , et égale à . la somme des segments BD, EC 39

— ■ XXX. Etant donnés deux circonférences et un point

A, mener une droite terminée aux circonférences et divisée en deux parties égales par le point A. ...» * » » 40

— XXXI. Mener, dans yn triangle, une transversale telle,

que les segments déterminés par les côtés du iriangle soient égaux à des droites données. .40

— XXXII. Des sommets d'un triangle, comme centres, dé-

crire trois circonférences qui se touchent mu-" " tuellement, 41

DBS HATlfeRES. XI

Pages.

Probl. XXXIII. Etant donnés, sur une circonférence, deux Jttintsr

situés d'un même coté par rapport à un diamètre donné, trouver sur la circonférence, de Kautre coté de ce diamètre, un point tel, qu'en le joignant aux deux poiajs donnés , les segments du diamètre, compris entre le centre et les droites de jonction, soient égaux entre eux ;. . . 48

— XXXIV. Mener ; à deux circonférences données , deux

tangentes égales, faisant entre elles un angle donné 42

— XXXV. Par un point, situé hors d'une circonférence,

mener une sécante qui soit divisée en deux parties égales par la circonférence 43

— XXXVI. Inscrire, dans un cercle donné, une corde, de lon-

gueur donnée, qui soit partagée en deux parties égales par une corde donnée . 44

— XXXVII. Par un point, donné sur un diamètre AB, mener

une transversale CD telle, que Tare ÀC soit le triple de BD 44

— XXX VIII. Décrire un cercle qui touche une circonférence

donnée et qui touche, eu un point donné, une droite donnée 45

— XXXIX. Décrire un cercle qui touche une droite donnée

et qui touche, en un point donné, une circonférence donnée. . . 45

— XL. Décrire, snr une corde donnée, une circonfé-

rence qui coupe une circonférence donnée, de manière que la corde commune soit parallèle à • • une droite donnée 46

— XLI. Décrire, d\in point donné, comme centre, une

circonférence qui coupe une droite donnée, de manière que l'un des deux arcs interceptés soit capable d'un angle donné 46

— XLII. Décrire une circonférence ayant pour centre un

point donné, et qui coupe les côtés d'un an-' gle donné, suivant une corde parallèle à une droite donnée 47

— XLIII. Etant donnés un cercle, une droite et un point

situé sur cette droite, décrire un autre cercle qui touche cette droite au point donné, et qui coupe le cercle, sous un angle donné 47

Psobl. XLIV.

TABLE

Pagei.

Etant donnés dent cercles, avec un point pr'.s sur l'un d'eux, on propose d'en décrire un qui passe par ce point et qui coupe les deux premiers sous des angles connus 49

Quel est le Heu géométrique des sommetsdes triangles ayant même base AB et dans lesquels la médiane AM a une longueur donnée ? 49

Par un point D, pris sur le côté BG d'un triangle donné ABC, on mène une transversale quelconque EDF. On trace les circonférences CDE, BDF. Quel esl le lieu du second point d'intersection de ces circonférences? 4»