LIVRE III

Thêoh. I. Lorsqu'une droite AB est partagée en deux segmeuts AC, BC, proportionnels aux nombres b,a; si des points A, B, G on abaisse, sur une droite quelconque, des perpendiculaires AA', BB\ CC', on a (aH-6)CC'=a.AA'-h6.BB'

— II. Etant donné un système de points A, B, C..., on

peut toujours déterminer un point tel, que sa dislance à une droite quelconque XY soit égale à la moyenne arithmétique entre les distances de la même droite aux points A, B, C,

— III. La somme des carrés des distances de n points

A, B, C... à un point quelconque S, est égale à la somme des carrés des distances des mêmes points à leur centre O, augmentée de » fois le carré de SO 54

— IV. Le lieu géométrique des points tels que la somme

des carrés des distances de chacun d'eux à des points donnés A, B, C..., soit constante, est une circonférence qui a pour centre le centre O des moyennes distances des points A, B, C,... .

— V. Les droites qui joignent les sommets homologues

de deux polygones, semblables et semblablemenl ou inversement situés, se coupent en un même point 55

— VI. Deux polygones semblables ont un centre de si-

militude 57

— VU. Les centres de similitude de trois polygones sen-

DES HATIÈMS. XIII

Pige».

blables et semblablemem placés sont en ligne

droite 57

Thèob. VII! . Tonte transversale détermine, sur les côtés d'un triangle, six segments tels, que le produit des trois segments qui n'ont pas d'extrémités communes est égal au produit des trois autres. . . 58

— IX. Trois droites, issues des trois sommets d'un trian-

gle, et concourant en un même point, déterminent, sur les côtés d'un triangle, six segments en i q vol u lion 58

— X. Si les droites qui joignent les sommets correspon-

dants de deux triangles se coupent en un même point, les points de concours des côtés opposés sont en ligne droite 59

— XI. Si l'on considère, sur les côtés du triangle ayant

pour sommets les centres de trois circonférences, les trois centres de similitude internes et les trois centres de similitude externes : l° les trois centres internes sont en involution ; 2° deux centres internes et un centre externe sont en involution 60

— XII. Si les côtés d'un polygone quelconque sont coupés

par une transversale, le produit des segments qui n'ont pas d'extrémités communes sera égal au produit des autres segments 6i

— XIII. Si, par un point pris dans le plan d'un polygone

quelconque d'un nombre impair de côtés, on mène à chaque sommet une droite qui partage le côté opposé en deux segments, le produit des segments qui n'ont pas d'extrémités communes sera égal au produit des autres segments. ... 62

— XIV. Toute parallèle à l'un des rayons d'un faisceau

harmonique est partagée en deux parties égales par les trois autres rayons 63

— XV. Si l'on mène, dans un faisceau harmonique, une

transversale quelconque, elle est coupée harmohiquement par les quatre rayons. ..... 63

— XVI. Deux points réciproques quelconques partagent

harmoniquement le diamètre qui les contient. . 63

— XVII. Les distances d'un point quelconque d'uue cir-