PF PG' 0U AG PG

Cette proportion exprime que AP est la bissectrice de l'angle FA6. Et comme BC est perpendiculaire à AP, les quatre droites AP, AB, AF, AG forment un faisceau harmonique (Th. XI, Rem. H).

THÉORÈME XXII

Étant donné un polygone P, on peut toujours construire un polygone P* tel, que les sommets de l'un des polygones soient les pèles des côtés de l'autre, relativement à un cercle donné 0.

Fig. 87. Supposons, pour fixer les idées, que le polygone P soit un quadrilatère ABGD. Soient A', B', C, D' les pôles des côtés de cette figure. La droite A'B', qui joint le pôle de AB au pôle de BC, est la polaire de B (Th. XX), etc. Donc

M GÉOMÉTRffi ÉLÉMBNTÀUE. 67

les deux quadrilatères ABGÛ, A'B'C'D' jouissent des propriétés énoncées.

Remarques. I. En général, les polygones P, P' sont dits polaires réciproques par rapport au cercle directeur 0.

IL La théorie des polaires réciproques, due en grande partie à M. Poncelet, double le nombre des théorèmes de la Géométrie ; c'est-à-dire qu'un théorème de situation (*) étant admis , la considération des polaires réciproques en donne immédiatement un autre, corrélatif an premier. Soit, par exemple , ce théorème très-simple : les hauteurs AM BN, CP d'un triangle ABC se coupent en un même point I Fig. 265. (I,Th.I).

Construisons la polaire réciproque de la figure, relativement a un cercle ayant pour centre le point arbitraire ; et soient A', B', C les pôles des côtés BC, CA, AB.

Le pôle de AM est situé sur B'C, polaire de A. De plus, ainsi qu'il est aisé de le reconnaître , les pôles de deux droites perpendiculaires entre elles sont situés sur deux rayons perpendiculaires entre eux. Donc le pôle de AM doit aussi se trouver sur OM' perpendiculaire à OA'; donc il est en M'.

Une construction semblable donne les pôles N', P' des droites BN, CP. Et comme AM, BN, CP se coupent en I, les pôles de ces lignes sont situés sur une même droite, polaire de L

Donc :

(*) M. Mannheim, officier d'artillerie distingué, est parvenu à étendre aux propriétés numériques des figures l'application du principe des polaires réciproques.

THÉORÈME XXIII

Si, d'un point quelconque 0, on mène des droites aux trois sommets d'un triangle A'B'C, et des perpendiculaires à ces droites; qu'on prolonge chaque perpendiculaire jusqu'à ee qu'elle rencontre le côté opposé au sommet qui lui correspond; les trois points H', N', P' ainsi obtenus seront sur une même droite.

THÉORÈME XXIV

Dans tout hexagone ABCDEF inscrit au cercle, les points de concours I, G, H des côtés opposés pris deux à deux sont tous les trois en ligne droite.

Fig. 120. Ce théorème, l'un des plus féconds de toute la Géométrie, est dû à Pascal. Il se démontre facilement comme il suit : Prolongeons les côtés, de deux en deux, jusqu'à ce qu'ils se rencontrent aux points L, M, N. Nous aurons, par la propriété des droites qui se coupent hors d'un cercle :

LA.LF=LB.LC, MC.MB=MD.ME, NE.ND=NF.NA.

D'un autre côté, le triangle LMN, coupé par les transversales AG f DI, FH, donue (Th. VIII) :

LB.MG.NA=MB.NG.LÀ, md.ni.lg=nd.li.mc, ME.NF.LH=NE.LF.MH.

Multipliant ces six égalités membre à membre, et supprimant les facteurs communs, il nous vient :