III. De ÔP— R«=ÔT— R' a

on déduit

(OP+R)(OP— R) = (OT+R r )(0'P-ft% ou (OP+R).AP=(0'P+R')A'P.

Nous avons supposé R>R', d'où nous avons conclu OP>OT. Donc, par compensation, AP<A'P. C'està-dire que Vaxe radical est plus près de la grande circonférence que de la petite.

THÉORÈME XXVIII

Les axes radicaux de trois circonférences , considérée! deux à deux , se coupent en an même point.

Les axes radicaux MN, M'N' se coupent eu un point Fig. 123. tel, que si Ton mène de ce point les tangentes CT, CT', CT", on aura, en même temps, CT'=CT", CT"=CT. Donc CT'=CT; donc le point C est situé sur Taxe radical M"N".

Remarques. I. Le point G est le centre radical des trois circonférences.

II. Pour obtenir Taxe radical de deux circonférences C, C'qui n'ont aucun point commun, il suffit de les couper par une circonférence auxiliaire C", puis d'abaisser, par le point de rencontre des deux cordes communes , une perpendiculaire sur la droite qui joint les centres des circonférences C, C.

III. Si trois circonférences se coupent deux à deux, les trois cofdes communes se coupent en un même point ,♦ si

trois circonférences se touchent deux à deux, les trois tangentes communes se coupent en un même point; etc.

THÉORÈME XXIX

Le point de rencontre des trois hauteurs d'un triangle ABC est : 1° le centre radical des circonférences ayant pour diamètres les côtés du triangle ; 2° le centre radical des circonférences ayant pour diamètres les segments OA, 06, OC des trois hauteurs.

Fig. 357. 1° Les circonférences décrites sur AG et BG passent par le point C' ; donc leur axe radical est CG'; etc. 2° Même démonstration.

Remarque. A cause de la première partie du théorème, on a

fiA . OA'=OB . OB '= OG . OC.

THEOREME XXX.

Dans tout quadrilatère complet, les circonférences décrites sur les diagonales BE, CD, AF comme diamètres, étant prises deux à deux, ont même axe radical.

Fig. 358. Les cordes CG, HE , AI , respectivement perpendiculaires à DG, BH, FI, sont ïes hauteurs du triangle AEC; donc elles concourent en un point L; et, à cause des quadrilatères inscriptibles HCGE, HEAI, AICG, on a