LC.LG=LH.LE=LA.LI

Par conséquent, le point de rencontre L des hauteurs du triangle AEG appartient aux axes radicaux des circonférences CD, HE, AF, prises deux à deux.

De même, les points de rencontre M, N, P, relatifs aux triangles ABD, DEF, BGF, appartiennent, chactn, aux

mêmes axes radicaux; donc ceux-ci sont confondus en une

seule droite LMNP(*>-

THÉORÈME XXXI

Les points de rencontre L, M, N, P des hauteurs des triangles déterminés par les côtés d'un quadrilatère complet sont situés sur une même droite.

Ce théorème est compris dans celui que nous venons de démontrer.

THÉORÈME XXXII

Dans tout quadrilatère complet, les milieux 0, 0', 0" des trois diagonales sont etf ligne droite.

En effet, les trois lignes des centres 00', O'O", 0"0 sont Fig. 358. perpendiculaires à Taxe radical commun LMNP; donc elles coïncident en direction.

Remarques. I. Ce théorème peut être démontré directement.

H. Les points 0, 0', 0" étant les milieux respectifs des droites BE, CD, AF, il s'ensuit .que la droite des centres est un axe des moyennes distances relativement aux six sommets A, B, C, D, E, F du quadrilatère (**).

(•) Si les points M,N,P pouvaient coïncider avec L, on devrait seulement conclure, comme dans le théorème précédent, que le point L est le centre radical des trois circonférences.

{••) Les démonstrations précédentes (Th. XXX, XXXI, XXXII) sont dues à M. Montion {Nouvelles Annales de Math., tome XI).

74 THÉOIÊBBS ET tftftftlJfrES

THÉORÈME XXX1IL

Si, d'an point quelconque 0, on mène dei droites aux sommets d'an quadrilatère ABCD et des perpendiculaires à ces droites :

4* Les points oà la perpendiculaire qui répond à un sommet coupe les droites qui joignent deux à deux les trois autres sommets sont , trois à trois, sur quatre droites aa"d", bb'b'", cc'c", dd'd";

l* Ces quatre droites concourent en un même point I.

Fig. 359. La première partie de la proposition a été démontrée cidessus (Th. xxni).

Quant à la seconde partie, elle se déduit du Théor. XXXI, par le moyen des polaires réciproques. Nous laissons au lecteur le soin de développer la démonstration.

THÊORËMB XXXIV.

Les points de rencontre 0, 0', 0", 0"' des hauteurs des triangles déterminés par les sommets d'un quadrilatère inscriptible ABCD sont les sommets d'un quadrilatère égal au premier.

Fig. 360. Soient 0, 0' les points de rencontre relatifs aux triangles ABC, ADC. Menons OB, O'D etOO f . Abaissons, du centre I, la perpendiculaire IP sur AC. Il est facile de voir que