B=2IP=0'D

D'ailleurs, les droites OB, IP, O'D sont parallèles; donc OBDO' est un parallélogramme ; donc 00' est égale et parallèle à BD. Semblablement, 7/ O v/ est égale et parallèle à AC ; donc les deux quadrilatères ABCD, 0"'0'0"0 sont égaux et ont leurs côtés respectivement parallèles.

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THEOREME XXXV.

Dans tout quadrilatère complet, chaque diagonale est partagée harmoniquement par les deux autres.

Soit ABCD un quadrilatère, dont les trois diagonales 6ont Fig. 109. AC, BD, EF. Pour démontrer que la diagonale EF, par exemple, est partagée harmoniquement aux points G, H par les prolongements des deux autres diagonales, il suffit d'observer que, dans le triangle AEF, AH, DE, FB sont trois transversales menées des sommets à un même point G. Donc (Th. v X, Rem. IV) DBG et ACH partagent harmoniquement EF.

De même, dans le triangle ABD, CB, CA, CD sont trois transversales issues d'un même point C ; donc la base BD est partagée harmoniquement par les droites CA, EF, aux points I, G.

Enfin, dans le triangle ABC, DA, DB, DC sont trois transversales issues d'un même point ; donc la base AC est partagée harmoniquement par la transversale DB et par la droite EF.

THÉORÈME XXXY1.

Dans tout quadrilatère iuscrit ABCD, le point de rencontre I des diagonales AC , BD , et les points de eoncours P 9 Q des côtés opposés forment un triangle dont chaque sommet est le pôle du côté opposé.

Menons la droite PQ : cette ligne formera, avec PA, Fig. 118. PD, PI, un faisceau harmonique (Th. XXXV); donc la corde AD est partagée harmoniquement aux points Q, E ; et, par la même raison, la corde GB est partagée harmoniquement aux points Q, F. Les points E, F, conjugués harmo-

niques du point Q, appartiennent à la polaire de ce point (Th. XVI). Cette polaire est donc PI.

De même, la droite QI a pour pôle le point P.

Quant à la droite PQ, elle a évidemment pour pôle le point I, intersection de QI, polaire de P, et de PI, polaire deQ.

Remarque. Si les droites AD, BC tournent autour du point Q, les points I, P se déplaceront, mais la droite PI restera constante, attendu qu'elle est la polaire du point Q. On conclut de cette remarque le moyen de construire, à laide de la règle, la polaire d'un point.

THÉORÈME XXXVII

Dans tout quadrilatère complet circonscrit ABCD, chacune des diagonales est la polaire du point d'intersection des deux autres.

Fie 119. Soient G, H, I, K, les points de contact des côtés du quadrilatère avec la circonférence inscrite. Construisons le quadrilatère complet ayant pour sommets ces quatre points.

D'après le théorème précédent, la droite MN, qui joint le point de rencontre des diagonales GI, KH avec le point de concours des côtés opposés IH, KG, est la polaire du point L où se coupent les côtés opposés GH, IK. Mais, d'un autre côté, les sommets B, D du quadrilatère circonscrit sont les pôles des cordes de contact GH, IK (Th. XVIII); donc la diagonale BD est la polaire du point L; c'est-à-dire que les quatre points B, D, N, M sont en ligne droite.

Pour la même raison, les quatre points A, C, L, N sont en ligne droite; et il en est de même pour les quatre points E, F, L, M.

Il est évident, en outre, que les points où ces droites se

coupent deux à deux [sont les points L, N, M. Donc le point L, intersection des diagonales AC, EF, a pour polaire la diagonale BD, etc.

\ THÉORÈME XXXVIII

Si deux quadrilatères sont Fan inscrit et l'autre circonscrit à un même cercle, de manière que les sommets du premier soient les points de contact des côtés du second : 1° les points de concours des côtés opposés de ces quadrilatères sont situés sur une même droite; 2° les diagonales du quadrilatère inscrit et celles du quadrilatère circonscrit se coupent en un même peint, pôle de cette droite; 3° les points de concours des côtés opposés du quadrilatère inscrit sont situés sur les diagonales du quadrilatère circonscrit.

La démonstration de ce théorème est évidemment renfermée dans celle qui précède.

THÉORÈME XXXIX

Si d'an point A, pris dans le plan d'un angle yOx, on mène des transversales AB, AB', AB"... les points de concours D, D', D"... des quadrilatères BC, B'C"..., sont situés sur une même droite passant par le sommet de l'angle.

La diagonale B'C est partagée harmoniquement aux Fig. 110. points D, E (Th. XXXIV); donc OA, Oj/, OD, Ox forment un faisceau harmonique. Il en est de même pour OÀ, Ot/, OD', Ox. Donc les droites OD, OD' coïncident. Ce qui démontre la proposition.

Remarques. I. Si le point A se déplace sur OA, la droite OD ne change pas. Si, au contraire, OA se déplace, OD tourne autour du point 0. C'est ce qu'on exprime en disant

Remarque. La proposition précédente est connue sous le nom de Théorème de Desargues.

THÉORÈME XLII

Si l'on joint les sommets A, B, G d'an triangle à an point intérieur 0, par les droites AOA', BOB', COC, on aura ^+jS+S? =li

Fig. 124. Les triangles BAC, BOG, qui ont même base BC, sont entre eux comme leurs hauteurs, ou, ainsi qu'il est aisé de le voir, comme les droites AA', 0A\ Ainsi,