AG+BD + CD + AB=CB + AD+4MN

Mais MN = ^=^5;

d'où 4MN=CD+ÂB 2 — 2AB. CD.

En substituant, on obtient

ÂB+CD=CB+ÂD— 2AB. CD.

THÉORÈME XLVII

Lorsqu'une droite AB est partagée en moyenne et extrême raison , la somme des carrés de la droite entière et du plus petit segment BG est égale à trois fois le carré du plus grand segment AG.

On a, par hypothèse, AC=AB. BC. Fig. 135.

Mais, AC=ÂB+BC 2 — 2AB. BC ;

donc A&=AB+BC— 2Âc"

ou 3ÂC=ÂB+BC. 2

Remarque. Si l'on prend, sur le prolongement de BA,

un point C tel, que AG'=AB.BC, on aura, par le même calcul,