EO EF
D'un autre côté, le point D étant le centre des moyennes
CD
dislances du triangle ABC, on a 5^=2 . Conséquemment,
les triangles HCD , OED ont un angle égal compris entre côtés proportionnels ; donc ils sont semblables ; donc les angles CDH, EDO sont égaux ; et ODH est une ligne droite. Déplus, HD=20D.
Remarque. Dans tout triangle, la distance d'un sommet au point de rencontre des hauteurs est double de la dislance du côté opposé au centre du cercle circonscrit.
THÉORÈME LUI
Dans tout triangle ABC : 1° les milieux H, N, P des trois côtés , les pieds A', B', G' des trois hauteurs, les milieux E, F, G des segments compris entre les sommets et le point de rencontre D des trois hauteurs sont neuf points situés sur une même circonférence; 2° le centre R de cette circonférence est le milieu de la droite qui joint le centre du cercle circonscrit au point de rencontre des trois hauteurs ; 3° le rayon de cette circonférence est égal à la moitié du rayon du cercle inscrit.
1° Les points E, G étant les milieux des segments AD, Fig. 144. CD, la droite GE est parallèle à AG et égale à la moitié
de ce côté. Pour une raison semblable, les droites EP, GM, sont parallèles à BD et égales à la moitié de ce segment ; d'ailleurs BD est perpendiculaire à AC; donc la figure EPMG, qui a deux côtés égaux et parallèles et deux angles droits, est un rectangle ; donc les quatre points E, P, M, G sont situés sur une même circonférence, décrite sur MF comme diamètre.
Cette circonférence passé évidemment par les points A', C', sommets des angles droits MA'E, GC'P.
On verrait de même que les points E, F, M, N sont les sommets d une circonférence décrite sur ME comme diamètre; donc ces deux circonférences coïncident. Et comme NF serait un diamètre, le point B' appartient encore à la même circonférence, qui contient, par conséquent, les neuf points M, N, P, A', B', C, E, F, G.
2° Le point D, où se coupent les trois hauteurs, est le centre du cercle circonscrit au triangle que l'on obtiendrait en menant, par les sommets A, B, C, des parallèles aux côtés opposés; doncCD=20P,DG=OP, et le centre K, milieu de PG, est en même temps le milieu de OD.
3° Les triangles ABC, MNP sont semblables, et leur rapport de similitude est égal à 2. Donc le rayon MI est la moitié du rayon OA.
Remarque. On peut encore démontrer que le cercle des neuf points est tangent au cercle inscrit et aux quatre cercles ex-inscrits (*).
(*) Nouvelles Annales de Mathématiques, 1. 1, p. 197.
THÉORÈME LiV.
Dans tout triangle, la somme des rayons des cercles inscrit et circonscrit est égale à la somme des perpendiculaires abaissées, du centre du cercle circonscrit, sur les trois côtés.
Soit ABC un triangle quelconque, dont les côtés sont Fig. 140. a, b, c. Par le centre du cercle circonscrit, abaissons OM, ON, OP perpendiculaires sur les côtés. Menons les droites
MP, PN, NM : elles seront égales, respectivement, à 5 «,
56, |c. Enfin tirons les rayons OA, OB, OC.
Les quadrilatères APON, BMOP, CNOM, évidemment inscriptibles , donneut, R étant le rayon du cercle circonscrit,
aR=6.0P + c.0N, 6R=c.0M + a.0P, cR=a.0N+6.0M.
Donc
( a + ft + c )R=(a+6)0P+(b+c)0M+(a+c)0N.
Dans le second membre, ajoutons et retranchons la quantité a. OM + 6. ON + c. OP ; nous aurons
(a+6+c)R=(a+6+c)(OP+OM+ON)-(a.OM+6.0N4-c.OP).
Le terme soustractif représente évidemment le double de Taire du triangle, c'est-à-dire (a-\-b+c)r y r étant le rayon du cercle inscrit; donc l'égalité précédente devient R + r=OP + OM+ON.
90 THfiOJtÈMBB ET PROBLÈME»
THÉORÈME IX
La distance d des centres des circonférences inscrite et circonscrite à un triangle ABC est moyenne proportionnelle entre le rayon R de la seconde et l'excès de ce rayon sur deux fois celui r de la première.
Fie 141. Les droites AI, CI, bissectrices des angles A, G, divisent
• en deux parties égales les arcs BDG, BEA, aux points
D, E. Il résulte de lk que la somme des arcs AE, CD est
égale à Tare DBE; et, par suite, que les angles AIE, DAE
sont égaux. Donc AE=IE.
Si nous menons le diamètre EOF du cercle circonscrit, nous aurons
