ÎÔ=IE + R* — 2R(EG+GP
ou d*=IË+R 2 — 2R(EG+r). (2)
Les égalités (1) et (2), ajoutées membre à membre, donnent enfin
Remarqués. I. Le rayon R du cercle circonscrit ne peut être moindre que le diamètre du cercle inscrit.
IL Si Von a, entre les rayons R, r de deux cercles, et la distance d de leurs centres, la relation d 2 =R(R — 2r), un même triangle pourra être inscrit au premier cercle, et circonscrit au second.
Cette réciproque importante se vérifie aisément au moyen de la réduction à l'absurde.
ou
III. Si demie cercles tont tels qu'un même triangle puisse être inscrit au premier et circonscrit au second, il y aura une infinité de triangles qui jouiront de la même propriété.
THÉORÈME LV1
L'inverse du rayon du cercle inscrit à un triangle est égal à la somme des inverses des trois hauteurs.
Soient a, b, c les eôtés d'un triangle; soient a', b', c' les hauteurs correspondantes. Désignons par T l'aire de ce triangle, et par r le rayon du cercle inscrit; nous aurons Vï=aa'=bb'=cc'=(a+b + c)r;
Dans cette suite de rapports égaux, le dernier antécédent est égal à la somme des trois autres ; donc
THÉORÈME LV1I
Les circonférences circonscrites aux triangles formés par les côtés d'un quadrilatère complet ABGDEF se coupent toutes les quatre en un même point H.
Considérons le triangle ABF et les points C, D, E, situés p 1Gt {42. sur ses trois côtés. Les circonférences ADE, BCE, FCD, passant par les sommets de ce triangle, et se coupant deux à deux en C, D, E, doivent se couper en un même point M (II, Th. VIII).
Pour une raison semblable, les circonférences ABF, BCE, FCD, se coupent en un même point. Mais ces deux der-
92 THÊORÈMBS ET PROBLÈMES * %
nières ont déjà le point M commun : donc les quatre circonférences passent par ce point.
THÉORÈME LVIIL
Si Ton circonscrit des circonférences aux triangles formés par chacun des cotés d'un pentagone et les prolongements des côtés adjacents, les points d'intersection de ces lignes sont situés tous les cinq sur une même circonférence.
Fig. 143. Soit ABCDE un pentagone quelconque. Soient ABF, BCG,... les triangles dont il s'agit. Les circonférences circonscrites à ces triangles se coupent consécutivement aux points L, M, N, P, Q; et il s'agit de démontrer que ces cinq points sont situés sur une même circonférence.
Si nous considérons le quadrilatère complet ABCIFG, nous conclurons du théorème précédent que les circonférences circonscrites aux triangles ABF, BCG, FGI, se coupent au point L.
De même, les circonférences circonscrites aux triangles CDH, EDI, FGI formés par les côtés du quadrilatère complet CDEFIH se coupent au point N.
La circonférence circonscrite au triangle FGI passe donc par les points L et N.
Actuellement, les circonférences ABF, FGI ayant, avec la circonférence qui passerait par les points L, N, Q, un point •commun L, et la droite FAI étant menée par l'intersection F des deux premières circonférences , il résulte de la réciproque du théorème qui vient d'être cité que si l'on joint les points A, I aux intersections Q, N de ces deux lignes avec la troisième, les droites QA, IN, prolongées, se couperont sur cette dernière circonférence.
Cela posé, en considérant le triangle ARI , et les trois points Q, N, E, situés sur ses trois côtés, nous voyons que les circonférences QRN, NEI, QEA doivent se couper en un même point. Donc la circonférence QLN passe par le point P, intersection des circonférences DEI et AEK.
On verrait de la même manière que cette ligne contient aussi le point M.
Donc les cinq points L, M, N, P, Q sont situés sur une même circonférence (*).
THÉORÈME LiX.
Le lien des points réciproques des points d'une droite donnée AB , relativement à un eercle donné C, est une circonférenee.
Soit GH la polaire d'un^point quelconque D de la droite p IG# 207. AB, et soit M le point de rencontre de GH avec le rayon CD : les points M, D seront réciproques (Th. XVI). D'ailleurs, la polaire GH passe par le pôle P de AB (Th. XX) ; donc la figure réciproque de la droite AB est la circonférence décrite sur CP comme diamètre.
THÉORÈME LX
Le lieu des points réciproques des points d'une circonférence donnée , relativement à un cercle donné G, est une circonférence.
M' étant le point réciproque d'un point quelconque M Fig. 208. pris sur la circonférence C, nous aurons
CM.CM'=Câ!
Prolongeons la transversale CM jusqu'à ce qu'elle ren-
O Ce remarquable théorème a été donné dans le Géomètre, par Auguste Miquel, alors élève de l'institution Barbet.
contre de nouveau en N la circonférence 0, et menons la tangente CT ; nous aurons aussi :
cm.cn=ct!
CM' /Oà\2
Ces deux relations donnent ^j-— \qj) .
Ainsi, les deux rayons CN, CM' sont dans un rapport constant; donc le lieu des points M' est une circonférence.
Pour obtenir à la fois le centre et le rayon de cette ligne, construisons la polaire T'T'O' du point de contact T. Nous
aurons d'abord CT'=£~; puis, à cause des parallèles OT, OT' :
cçy or cr
co ot ~ ct #
Les points 0', T" sont donc homologues des points 0, T. Remarques. I. La position et la grandeur du cercle 0'
varieront avec la valeur du rapport ^. Si Ton veut que ce
cercle se confonde avec le cercle 0, il faudra que CT=CA; Fig. 209. dans ce cas, les deux rayons GT, TO étant perpendiculaires entre eux, ces deux rayons sont des tangentes, et les deux cercles G, se coupent orthogonalement.
IL Si nous menons un rayon vecteur CM 'M, nous aurons
CM.CM'=CT==CA; donc les deux points M, M' sont réciproques. De plus, si nous menons M 'P perpendiculaire à CM, cette droite, polaire du point M, passera évidemment par l'extrémité P du diamètre MOP. Donc, quand deux cercles se coupent orthogonalement, la polaire d'un point du premier, prise par rapport au second, passe par le point diamétralement opposé au premier point.
THÉORÈME LXL
Dans deux figures réciproques, les angles correspondants sont égaux.
Supposons que la première figure se réduise au système Fie. 3j>l , de deux droites AC, BC (*). Soit Ole centre du cercle directeur (**). A' étant le pôle de AC et B' le pôle de BC, la circonférence décrite sur OA' comme diamètre est la figure réciproque de AC, et la circonférence OB' est la figure réciproque de BC. Par conséquent, le^système des deux circonférences constitue la figure réciproque du système des deux droites.
Cela posé, soient C'S, C'T les tangentes aux deux circonférences, menées par le point G', réciproque du pointC : il s'agit de démontrer que les angles SCT, ACB, sont égaux. Or, si l'on mène les tangentes OS', OT', évidemment perpendiculaires àOA, OB, on aura
S'OT'=SC'T, S / OT=ACB; donc SC'T=ACB.
THÉORÈME LXII
A, B étant deux points d'une figure, et A', V les points correspondants de la figure réciproque, on a, en appelant R le rayon du cercle directeur :
