OA'.OB

4° Désignons par T l'aire du triangle OA'B' et par r le rayon du cercle inscrit à ce triangle. Nous aurons

T=|OA\OB' sin xOy=\ (OB'+OA'+A'BV;

donc l'égalité précédente équivaut à r = constante.

Ainsi> quelle que soit la tangente AB, le triangle OA'B 1 est circonscrit à une circonférence fixe I (*), inscrite dans V angle œOy. Les tangentes extérieures à cette circonférence sont les cordes A'B' des circonférences variables OA'B', tangentesàla circonférence fixe CD'. Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante :

THÉORÈME LXI1L

Si, à an cercle I, inscrit à on angle xOy, on mène une tangente extérieure quelconque À'B r (**) , la circonférence circonscrite au triangle OA'B' sera tangente à une circonférence fixe C, inscrite dans l'angle xOy (**).

Par un point donné A) mener une droite qui passe par le point de concours de deux droites BC, DE, que Ton ne peut prolonger.

Traçons deux parallèles quelconques FG, F'G', qui cou- Fie 1 40. pent BC en G, G', et DE en F, F'. Tirons la droite FA ; et, par le point F', menons-lui la parallèle F'A'. De même, menons GA et sa parallèle G 'A'. La droite AÀ' sera la droite cherchée.

En effet, les triangles AFG, A 'F 'G', semblables et semblablement placés, ont un centre de similitude , par lequel passent les droites BC, DE, AA' (Th. VI).

(+) Non tracée sur la fi gare.

(**) Ce remarquable théorème est dû à M. Mannheim, ainsi que les considérations précédentes.

9$ TBÇûf m* ET ?^MftK$

Inscrire, dans un angle donné AQB, une droite MN qui soit divisée, par un point donné G, en deux segments ayant un rapport donné.

Fig. 150. Soit ^ le rapport donné, de manière que |§=^- Par le point C, menons CD parallèle au côté AO; nous aurons

OD MC m

DP* KC n '

On construira donc le point N, au moyen d T une quatrième proportionnelle ; après quoi Ton joindra ce point au point donné C.

Par un point I, donné dans le plan de trois droites OA, OB, OC qui concourent en un même point , mener uue 4wilç MNP telle, que les deux

segments MP, PN aient un rapport donné ™.

Fig. 151. Après avoir pris arbitrairement un point E sur la droite OB^ ou mènera par ce point une droite DÏ3F tçlle^ qi\e Ton ait

^p= ™. Il ne restera plus, évidemment, qu'à mener p%r lç

point I une parallèle MPN à DEF.

Par «n poiqt D t dwé sur le côté AB d'un triangle hfi& ï peiw u^e droite DE qui parlage ce triangle ey deux segnrçits ^fiut \\p ç^pt^ dçpé,

Fig. 152. Soit jj ce rapport -nous aurons ^==^. Mais, à cawe de l'angle commun A,

ADK AP.AK .