OM.ON=^.OA.OB+ F ^.OC.OD

Mais, la droite MN étant parallèle à EF, on a

om oe - -

ON of*

Par suite, en multipliant membre à membre :

OM=fe.OA.OB+£ i .OC.OD).

Soit OG une moyenne proportionnelle entre OA et OB ; soit de même OH une moyenne proportionnelle entre OCet OD. Nous aurons

oe

OM=( p -^.OG +p -^.OH).;

On voit que, pour obtenir OM, il suffira d'appliquer les solutions de ces problèmes : construire un carré qui soit à un carré donné dans un rapport donné; trouver un carré équivalent à la somme de deux carrés donnés (*).

Inscrire un carré MNPQ à un triangle donné ABC.

Abaissons la hauteur AD du triangle; et, sur AD comme Fig. 149. côté, construisons un carré ADEF. Les deux carrés étant semblables et semblablement placés, les droites qui joignent leurs sommets homologues concourent en un même point, lequel est évidemment le sommet B.

Ainsi, pour résoudre le problème, on mène AF parallèle à la base BC et égale à la hauteur AD. On trace BF, qui coupe AC au sommet cherché N; etc.

Remarques. I. Si Ton désigne para, 6, c les côtés du triangle ; par a'\ b\ c 1 les hauteurs correspondantes ; par x, y, % les côtés des trois carrés qui satisfont à la question, on trouve:

„ aa' -.J^L *__££!

II. On peut conclure , de ces valeurs, que le plus grand carré s'appuie sur le plus petit côté du triangle.

(*) On peut aussi obtenir OM au moyen de plusieurs quatrièmes proportionnelles et d'une moyenne proportionnelle.

Inscrire, à an triangle donné, an rectangle semblable à un rectangle dotané.

Ce problème ne diffère pas essentiellement de celui qui précédé.

Inscrire, à un triangle ABC, un rectangle HNPQ équivalents un carré donné m*.

Fig. 156. Abaissons la hauteur AD; nous aurons

M£Bto MN AM AD AB^ BC AB #

Ces deux proportions , multipliées terme à terme, doanent