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blw; donc jg- «=^5. Cette proportion donne AC.ÀD=AB.AM— m»;

d'où AD = jg- Ainsi le point D est fixe; et, par conséquent, le lien demandé est une droite EF, perpendiculaire àAC.

D'un point donné C, on mène une droite quelconque CB, qui coupe une droite

m* donnée MN, pnis l'on prend CA=qj- Quel est le lieu géométrique des

points A?

Abaissons CB' perpendiculaire à MN, prenons GA'=£gi; Fl °- *80. nous aurons CB.CA=CB'.CA', ou §£^5£.

484 TBfiûlfcftlIS BT PtOBLfeME*

points ; et le problème proposé serait un cas particulier de celui-ci : trouver le lieu des points tels, que la somme des carrés des distances de chacun d'eux à des points donnée soit équivalente à un carré donné. Nous savions déjà (Th. III) que ce lieu est une circonférence ; mais comme les nombres m, n pourraient n'avoir pas de commune mesure, une solution directe était nécessaire.

Étant donnés deux points A, B, trouver le lieu des points C satisfaisant à la

relation wAC«— nBC=£,

dioi laquelle m, n, l sont des nombres donnés et une longueur donnée.

Fi*. 202. Ce problème se résout absolument comme le précédent : le lieu est une circonférence dont le centre partage AB eu deux segments soustractifs AD', BD', inversement proportionnels aux nombres m, n.

Étant donnés deux groupes de points, trouver le lieu des points tels, que la somme des carrés des distances de chacun d'eux aux points du premier groupe, diminuée de la somme des carrés de ses distances aux points

du second groupe, soit égale à un carré donné m*.

Fig. 203. Soient A» B, C,. M les points, en nombre n, appartenant au premier groupe, et A'. B\ G'..., les points, en nombre n\ composant le second groupe. Soient 0, 0' les centres des moyennes distances relatifs à ces dw* groupa* de points, Nûusaufow(TMU):

AM=AP + MP* BSf=BP+Mp 2 ;

donc ÂM - M =ÂP - BP= m*.

Cette relation donne AP— PB=~; donc le point P est

fixe; donc le lieu demandé est une perpendiculaire à AB, perpendiculaire dont on peut aisément obtenir un point quelconque.

Étant donnés deux points A, B, trouver le lieu des points G satisfaisant à la

relation m AC + n BC = fi ,

dans laquelle m, n, / sont des nombres donnés et nne longueur donnée.

Partageons la distance AB en deux parties AD, BD qui Fig. 202. soient en raison inverse des nombres m, n; nous aurons (Th. XLV) :

BD.ÂC+ AD .BC=(CD+AD .BD) AB; ou, en remplaçant BD par ^^ AB, et AD par ^—^ AB :

mn

roAC+nBC=(ro-M) CD+ -££- AB

La relation proposée devient donc

mn

<m + n) CD + ^AB=J*.

Celle-ci exprime que la distance CD est constante ; donc le lieu du point C est une circonférence.

Remarque. Si m et n étaient des nombres entiers, on pourrait supposer que m points sont confondus en A et que n points sont confondus en B. Alors le point D serait le centre des moyennes distances de ces deux groupes de

Quel est le lieu géométrique d'un point M tel, que sa distance à la base AB d'un triangle isocèle donné, soit moyenne proportionnelle entre ses distances aux deux autres côtés?

Fig. 205. Abaissons MQ, MN, MP perpendiculaires sur les côtés du triangle. Nous aurons MN = MQ . MP, ou mq MN