DE AD

De plus, le triangle est isocèle, parce que les angles AEF, AFFont des mesures égales; donc DE=cAEt==AF. C'est ce qu'il fallait démontrer.

THÉORÈME H

Le côté du décagone régulier étoile inscrit est égal au côté du décagone régulier inscrit > augmenté du rayon.

Supposons qu'après avoir partagé la circonférence en Fig 237. dix parties égales, on joigne le premier point de division A

au quatrième point B par la corde AB, puis le point B au septième point de division C ; et ainsi de suite. On obtiendra un décagone ABCDEFGHIK qui sera, à la fois, équiangle et équilatéral, mais dont les côtés se couperont dans l'intérieur du cercle. Ce polygone est le décagone régulier étoile. Fig. 238. Gela posé, soient AB le côté de ce décagone, et AH le côté du décagone régulier convexe. Menons les rayons OB, OH. Nous formerons ainsi deux triangles AMH, BMO, qui seront semblables, attendu que les arcs AG,BH étant égaux entre eux, la corde AH est parallèle au diamètre BOG. De plus, les angles en M et en H ont des mesures égales ; donc ils sont égaux; donc nos deux triangles sont isocèles. Il suit de là que AB=AM + BM=AH+BO.

Remarques. I. La similitude des deux triangles donne

£? = gg. Mais, dans le triangle AMO, les angles en A et

en ont des mesures égales ; donc ce triangle est isocèle;

donc OM=AM = AII; et la proportion devient ^~=gg.

On retrouve ainsi ce théorème : le côté du décagone régulier convexe est égal à la plus grande partie du rayon, partagé en moyenne et extrême raison.