OH OM ' 0U BM AM

ou encore Su ~tû,

AB BM

BM AM'

c'est-à-dire que : si ton partage en moyenne et extrême raison le côté du décagone régulier étoile, le plus grand segment sera égal au rayon, et le plus petit segment sera égal au côté du décagone régulier convexe.

THÉORÈME III

Si, sur les deux segments AC, BG du diamètre AB d'un cercle 0, on décrit, de part et d'autre de cette droite, deux demi-circonférences ADC, CEB, la ligne ADCED, formée par l'ensemble de ces deux demi-circonférences, partage le cercle en deux segments proportionnels aux deux segments du diamètre.

Les demi-cercles décrits sur AB, AC, BC sont entre eux Fig. 254. comme les carrés de leurs diamètres ; donc

AFRECP "ÂB 4-BC -f-ÂC* AGBECD- rB *^ Vï5 *-

Mais ÂbL=(AC+BC) 2 , BC— AC=(AC+BC)(BC— AC);

■ AFBECP (AC+BC)-n(BC— AC) BC

a0llC AGBECD (AC4-BC)4-.(BC— AC) AC'

Remarque. La somme des demi- circonférences ADC, CEB est équivalente à la demi-circonférence décrite sur AB. Il résulte de là et de ce qui vient d'être démontré, que si Von divise le diamètre d'un cercle en n parties égales, puis que sur chacune des couples de segments ainsi déterminés, on décrive, de part et d'autre de ce diamètre, des demi-circonférences, on aura partagé le cercle en n parties équivalentes en surface et en périmètre.

THÉORÈME IV

Si deux arcs AC, BD ont une somme moindre que la demi-circonférence ABB, le rectangle de leurs cordes est équivalent à celui qui aurait pour dimensions le rayon et l'excès de la corde du supplément de la différence des arcs sur la corde du supplément de leur somme.

Menons AD, BC, CD : le quadilatère ACBD étant in- Fig. 239. scrit, nous aurons