BD= "* AB, AP= " AB

niAC' -t- nBC' = (m + h) CD' + — "■ ■ ÂB* .

DE GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE. S»i

La rehtion proposée se réduit donc à

, . mit — ,

(m -4-#i)CF -«- AB => P.

Celle-ci exprime que la distance CD est constante ; donc le lieu du point C est une circonférence.

Remarque. Sï m^ n étaient des nombres entiers, on pourrait supposer que m points sont confondus en Â, et que n points sont confondus en B. Alors le point D serait le centre des moyennes distances de ces deux groupes de points; et le problème proposé deviendrait un cas particulier de celui-ci : trouver le ïieu des points tels, que la somme des carrés des distances de chacun, à des points donnés y soit équiixdente à un carré donné. On savait déjà (Th. IV) que ce lieu est une circonférence; mais comme les nombres tn, n pourraient n'avoir pas de commune mesure, une solution directe était nécessaire.

ProMène X«irill.

Étant donnés deux points A, B, trouver le lieu des points C satisfaisant à la relation

dans laquelle m, n» 1 sont des nombres donnés et une longueur donnée.

Ce problème se résout comme le précédent : le lieu est une circonférence dont le centre partage AB en deux segments soustractifs AD', BD% inversement proportionnels aux nombres m^n.

mMène LIS.

Étant donnés deux groupes de points, trouver le lieu des points tels, qtte la somme des carrés des distances de chacun, aux points du premier groupe^ diminuée de la somfne des carrés de ses

THÊOnÈMES ET PROBLÈMES

dâUmeet ma pomtt du teoomd groupe, toit égalé à tm carré

donné m*.

Soient A , B, C... , les poinu, en oombre n , appartenant au premier groupe, et A', B', C'..., les points, en nombre n', composant le second groupe.

Soient 0, 0' les centres des moyennes distances, relatifs à ees deux groupes de potnu.

.. = iÔ' -»- BO* H ^- nOH*,

n'ôH'.

Nous avons (Th. III):

ÂIi*+BM'+CM'

ATr-.-ffM*-j.c^'-t- — jrô^-t-Bir+-

d'où , en retranchant,

m' = (ÂO' -f .-) — (A^' + "■) + nOl* -

Celle -relation donne

bOS'— n'ÔlT™*»,

k représentant une droite que l'on peut supposer connue.

Le problème est donc ramené à celui qui précède, et te lieu est une circonrérence.

Quel est le lieu des points tels, que les tangentes MT, MT', menée» de chacun à deux cercles donnés 0, O', soietit en&e elle* comme deux longueurs données m, m'?

Si nous menons les rayons OT, OT' passant par les points de contact, nous aurons

MT* = 0M' — ÔT*.

HT'' = ÔM* — &r*; conséquemment,

5S*— ôt' jM»

DE GËOHÊTRIE ËLËHEKTAIRE. fU

Celte proportion donne

m'* . ÔM* — m* . ÏÏ^5'= m" . ÔT* — m". ÔT'.

Ainsi, la différence des carrés des distances OM, OW, rcspeclÎTemeDi muliipliés par des nombres donnés, est constante. Donc le lieu est une circonrérence.

Quel est le lieu géométrique d'un point M tel, que ta diilanct à la bote AB d'un trttmgle isoacèle dotmé, aoit moyenne proportionnelle entré ies diitanceg avx deux autreê cotét?

Abaissons MQ, MN, MP perpendiculaires sur les cdtés du triangle. Nous aurons

UQ HN

mn" mp'

Les angles QHN, ABC sont égaux, comme ayant les cAléa respectivement perpendiculaires. De même, l'angle NMP est égal à BAC. Donc les angles QMN, NHP sont égaux entre eux.

Par suite, les triangles HNQ, MNP sont semblables, comoK ayant un angle égal compris Mitre c&tés proportionnels; et les triangles QBN, NAP sont équitngles entre eux. Donc les quadrilatères MQBN, MN.\P sont semblables.

Menons les diagonales MB, MA : nous formons ainsi deux triangles rectangles MQB, MNA, semblables à cause de la similitude des quadrilatères; donc les angles MBQ, MAB sont égaux entre eux ; d'où il suit que l'angle AMB est constamment égal à Tangle CBA du triangle donné. Le point H décrit d(H)c la circonlérence tangente, en A, B aux cdtéa AC, BC.

su THtORÈHES ET PROBLÈMES

Remarque. Les extrémités D, E du diamètre COE sont la centres du cercle inscrit et de l'un des cercles ex-iasoriu au uiangle ABC.

Étatit donnée! une droite fixe AB et detixperpendiailairet AC, BD, on coupe cet deux-ci par une Iranttenale quelconque ËP; on prend mr AB un point P tel, que le rectangle det tegmenU de AB soit équivalent au rectangle des segments déterminés sur les perpendiculaires; puis, du point P, on abaisse PM perpendiculaire à EF. Quel est le Heu du point M ?

Dans le quadrilatère APHE, les angles en A et en M sont droits; donc ce quadrilatère est inscrit à la circonférence décrite sur EP comme diamètre. De même, la circonférence décrite sur PP comme diamètre passe par les points H, P.

Menons AM , MB : nous formons ainsi deux angles AMP, BMP, respectivement égaux à AEP, BFP, comme ayant mêmes mesures que ceux-ci .

Les triangles rectangles EAP, PBF sont semblables; car, par hypothèse,