AE.BF^PA.PB

donc les angles AEP, BFP sont complémentaires; et, par conséquent, les angles AMP, BMP le sont aussi.

De là résulte que l'angle AMB est droit. Le lieu cherdié est donc la demi -circonférence décrite sur AB comme di«>, mètre.

Remarque. Lorsque le point E reste fixe et que la transversale EF tourne autour de ce point, le point M décrit la circonlërence AMB. Pour une seconde position du point E, on obtient la fnéme circonférence; et ainsi de suite. Le lieu géométrique proposé se compose donc, en réalité, d'une infinité de ciramfirencea superposées.

DB GÉOHtTRIE ÉLÉMENTAIRE.

PMMfcae t.XIII.

Par l'un des points tTinlerseclion de deux drconfèrencei o, o', on mène deux droites rectangulaires Pa, Pa', qui rencontrent If Kffne des centres en a, a', et les circonférences en b, c, et b', c*. Démontrer que l'on a toujours

ab a'b'

Les angles en P étant droits, les eordes ee, W, sont des diftmètres. D'ailleurs, les triangles 6P&', cPc', coupés par la transversale oo', donnent

ai .Pa' . h'o' = bo' a'b' .Pa,

co . a'c'. Pa =s oe.Pa'. c'a;

d'où, 4 cause de 60' =■ b'o', co = c'o :

ab.a'e'esa'b'.ae;

tu.

rr*kl«M« LXIT.

Par «n point O, prissur le prolongement d'un diamètre BA du cercle C, on mène une sécante quelconque OHH'; on prend tes milieux N, N' de» an» AM, AU'; on joint le centre C, aux points N, N', par les droites CN, CN', lesquelles rencontrent enD,D' la perpendiculaire menée, au diamètre AB, par le point O. Prouver que le rectangle de OD par OD' est constant, quelle que soit la direction de la sécante (*).

Menons la droite BHE : elle est parallèle h CND. En effet,

O Grand Concours <1844).

M« THËOBÈHBS ET FMMLÈHES

Paa^ ABH a pour menre b moilié de l'are AM; donc il est ^ i ACN; tse. Pour h même ntsoa. BH'E' est parallèk

Cela étant, notu avons, à cause des

parallèles :