I>'M=PM, NP"=NP, P'M'„B'P, N'P"=N'P

donc, etc.

Remarque. La solution devient illusoire, quand la droite P'P", au lieu de couper Ax et Ay, rencontre les prolongements de ces lignes. S'il en est ainsi, il est visible que la somme des angles PAP', PAP" surpasse 2 angles droits.

Mais

PAP'=2PAa;, PAP"=2PAy; donc le problème est impouible lorsque l'angle donné est droit ou o6fi«. Dans ce cas, le triangle PMN est remplacé par le système de la droite PA et de la droite égale et contraire AP. En effet, PM'N' étant un u-iangle quelconque [G., 52] :

P'A -4- AP" < P'M' -*- M'N' + N'P", ou

2AP<PH'+M'N'-t-N'P.

rrablème XII.

À un triangle ABC, inscrire «n triangle KTiP, de périmètre minimum.

Supposons d'abord que le triangle soit acutangle.

Si le point P est pris arbitrairement sur le côté AB, le triangle PMN sera déterminé par la construction employée dans le problème précédent. Les

f«iaa Q, R, ■■■ggi éa poôu P, «wt «nés sw hs dnaes ■&'. Air, lyMétriipa 4e AB, pv nfport à IC, AC DTadlMs

Moai, iaa» ton» les trôoffa tels fw CQK, fa s^ihc éa eMè» C'Q, C'R est eoDscaie. hr eoosèqaent, poor râaadre le fnUimt rrofmi, tm éeH (Proh. g) Mw

Mener b éroiie RXNQ, ei prcorfre enfin AP = AK.

Si le triangle ABC est reeUnsle on oImbbd^, a réalK. de b renarqae faite i b in do Probiême XI, que fc (rin^Cr M^P eu remptaeé par U tyêtèwte ie tm kmttOÊr torretpoitétmt m pbu gramd mttfle, et iTime àroUe éfoie ett«mlrmire à eHte Immtewr.

COKOLuiU. Si WH trvmgU est imatril à mm tria»gU rettamgle 0(1 obitaamgle, U périmètre du premier turpasae k dottble de la pltu petite haulnr du tecomd.

Quelle rmile doit suivre wie bilU M powr rtmeontrer urne autre bille N, après avoir louché les quatre bande* du billard?

Soit MPQBSN b roule inconnue que doit suivre b bille M *ur le bilbrd reciangubire ABCD. Construisons le point lU',

DE GËOHËTRIE ÉLËMENTAntE. 19

symétrique de M par rapport k AB, et le point M", symétrique de M' par rapport & BG. Soient N', N" les points que l'on déduit de N par une construction analogue. D'après le Problème X, les lignes M'PQ, M"QR, N'SR, N"RQ sont droites; tionc M"QRN" est une ligne droite : elle détermine les points R, Q, puis les points P, S.

Remarque». — I. Le plus court chemin MPQRSN est égal , en longueur, k la droite M"N".

11. Les angles aigus P, R, compléments d'angles égaux, sont égaux; donc les droites PQ, RS sont parallèles. De même MP, NS sont parallèles h RQ.

VMkl«HC XIV.

Qttelle roule doit suivre une bille pour revenir au poinl de départ, après avoir touché les quatre bandes du biUard?

Pour résoudre cette question, il suffit de supposer, dans le Problème XIII , que les points M, N se confondent; alors, d'après la Remarque 11, la figure MPQRSM devient un parallélogramme.

Déplus, les côtés de ce parallélogramme sont parallèles aux diagonales AC, BD dti rectangle.

En effet, si nous prolongeons DA jusqu'il sa rencontre T

M THÉORÈMES ET MtOBLÈHES

mee PM', noas aurons AT = AS=CQ; donc le quadrilatère ATQC, dans lequel deux etSlés sont égaux et parallèles, est uo parallélogramme; donc PQ est parallèle à AC.

Bemm-que. A cause de TP = PS, on a