PQ + PS = QT = AC

le plu» court chemin MPQRSM est égal à la tomme det diagonales AC, BD. Celte longueur est donc indépendante de la posiiion du point H.

A un quadrilatère convexe ABCD, inscrire un ([uadrilatire MNPQ dont le périmètre soit minimum.

Si l'on fixe les sommets Q, P, N, on devra, pour satisfaire Jt la

condition proposée, rendre les angles AMQ,

BHN égaux entre eux (Prob. X). Pour la même raison.les angles BNM, CNP doivent être égaux entre eux ; et ainsi de suite. Con-

séquemment, la ligne HNPQMN est

celle fue décrirait une trille qui repassertut

indéfiniment par sa position initiale, après

avoir louché toutes les bandes du billard quadrangulaire ABCD.

Cela posé, en prenant pour unité l'angle droit, nous aurons,

dans les triangles AMQ, BNM, CPN, DQP:

On conclut, de ces égaiiiés :

Parconséqueal, le problème est indéterminé si , dans lequadri'

DE GtOHÉTnœ ËLtHBNTAinE. SI

tatêre donné, les angles oppoêés sont supplémentaires Ç); il ttt impossible dans le cas contraire (**).

Remarques. — I. Dans le cas où le problème est possible, on peut prendre arbitrairement le sommet M, et la construction suivante donne le polygone cherché MNPQ.

II. La même construction montre clairement à quoi tient l'indéterminalion du problème. En effet, soient 0 Je point oîi les deux droites symétriques BM', B'M"' rencontrent le prolongement du côté CD, et (X le point de concours des droites AM", CD. Dans les triangles BCO, ADO' :

angleO =° angle DCB — angleCBH',

angle 0' = angle ADC — angle H"AD; ou

0 = C — B, 0'-.D — A, Mais

A H- C = B-t-Di donc

ainsi les droites B'M"', AM" sont parallèles. On conclut aisément,

{') C'est-B-dirc lî le quadrilatère est imcrifliUt.

(") En général, ai l'on veut intcrire, à unpolj/goiu donné, un polygone d« périmèlrt minimum, le problème est impouible ou iniiélerminé , quand le polygone donné a un nombre pair de cités.

t ■ ftnamn AX. !a liroiie WV SK leow j I auii III a AKae JircBna; de.

m. Lar9<|Tie le rpiaib^Iatêre AKD ne sn&&it pw i fa cob-

I« fjoadrilatCTV X^PQ «t rcmpJaeé. mû pK on rrii«gk. mit fw lient droûen eonftniifues en one «eiile. Pv eiemfilv . ^bs k cas lré3-4nMpl« (M ABCD eat an trapèze aianc ilenao^ï droilSjflB rMonnail sans peine qiie H^PQ w rcdmt à '/ra^ /bà b plis pétilla fies dem diafimaks du npèie.

I>'. D'après b dûrassion prérâiraie :

1* Ij! fpKn/rilalére ABCD, fi)rme par fn bûaectritta d« aajfci ^lêrimn d'mn rfvmitrîlalére nuKtxe 3I>P1J, ?*f itufriptibit; V te quadrilatère formé par le» bimerlrien 'le» m»fle* tmlt-

rievrs d'un ffHadriialêre rontexe, est iii.vTip/i'Je.

Trouver, mr une droite donnée AB, «H point M tel, que la différence de tes iliêtanret à deux points donnét C, D, situa déport et d'autre de AB, toit un maximum.

Prenant, comme dans le Problème X , le poini C symétrique du point C, puis menant C'DM et MC, on a