GH = GA

Le lieu du point H est donc la circonférence décrite sur OA comme diamètre.

(') Grand Concourt (tSSSJ.

THËOItÈHES ET PRMLÈHES

rrshUBC ■.XXIII.

Par le point de contaxl A de deux circonférence» O, O', on mène deux cordes AC, AC, dont le rapport m ett donne. Det antre» O, O', on abaisse de» perpendicuUùret OP, O'P tur ce» cordes. Quel est le lieu du point P (*)?

II est visible que le lieu du point P est semblable au lieu décrit par l'interseciion M des cordes BC, B'C, supplémentaire» des premières; de plus, A est le centre de similitude des deux lignes inconnues ; cherchons donc le lieu du point H.

Si le rapport donné est un, c'està-dire si les cordes AC, AC sont égales, les triangles MCA, HC'A, reclangies en C, C'.soflt égaux; doofr M A est la bissectrice de l'angle BHB'. Conséquemmenl,

HB AB MB'°*AB^" Ainsi, dans ce cas particulier, le lieu du point M se réduit i la circonrérence tangente, en A, aux circonférences données» et dont le diamètre partage hàrmoniquement BB'.

Pour ramener le cas géaéral au cas particulier, remplaçofis la circonférence AB' par une circonférence auxiliaire AB", telle que

AS" = mAB' :

les cordes homologues AC, AC' (') Grand Concours (1899).

DE GÊOHÂTRIB ÉI^HENTAIRE. WT

seront dans le rapport m; donc il y aura égalité enire les cordes AC, AC", et k point auiiliaire M' décrira une circonférence pMMDt en A. Hais, à cause des parallèles B'M, B"M' :

BM' Bfl" AB-+-mAB" donc le lieu du point H est encore une àrconférence.

On donne «ne cinonfënnce, une droka L\J, et deux points A, A' tur la circonférence. On joint un point quelconque H, de la courbe, aux points A, A'; les droites MA MA' rencontrent LL' et P, P*. Démontrer qu'il existe, sur LL', deux points fixes I, I', tel», qm le produit de IP x l'P' devienne constant , lorsque le point M se meut sur la circonférence. Déterminer les position» de ces points (').

Si la proposition est vraie, le facteur l'P' doit être nul , quand, le point P s'éloigne à l'iofini; au- U-ement dit» P* doit alors se con- Tondre avec 1'.

Traçons donc la corde AB, parallèle à LL', et menons BA' : cette droite coupe LL'

au point r. De même, traçons la corde A'fi', parallèle i LL', et

menons B'A : cette droite coupe LL' au point l.

(*} Concours général des Lycées ileprp«ûiee (lS7(i). Solut KD, élève du Lycée de Stint-Ëtienne. [Ifouvellet Annale$.)

THÉCMLÈMCS ET MOHAHES

n ne s*agit plus que de vérifier h eonslanee du produit IP X W. Or, il est visible que

MPr =. MAB = FAT , MFP = MA'B' = lAP;

doue les triangles FAT, lAP sont équiangles. Conséquem-

inent