AT FF
1p aT'
ou
IP X l'F = AI X AT = coiwf.
Remarque. Si la corde A A' est parallèle a LL\ les points I, r sont situés sur les tangentes en A, A% à la circonférence.
A tm triangle donnée ABC, tmcrtre le système de trois cerdes X, Y, Z, tels que chacun d'eux soit tangent aux deux autres et à deux côtés du triangle (*).
Soient SMS',TNT',UPU' les tangentes communes intérieures, lesquelles se eoupent au centre radical R des trois cercles inconnus. Soient D,E, F, 6, H, Kles points de contact avec les côtés du triangle donné.
1* Il est facile de voir que le point U, intersection de UPU' avec AB, est le point où la circonférence C, inscrite au triangle S'RP' , touche le côté S'P' de ce triangle.
En effet, à cause de
UG = DP = UD, Dr = Nr, GS'=IIS', RM = RN,
on a
UT' — US' = or — GS'= NT'— MS' « KT— MS'.
(*) Ce problème porte le ooon du célèbre Géonièirc Maifafii{Qc en 1751, mort en 1807) , qui parait Tavoir résolu le premier.
DE CfiOHfiTRIE ÉLÊMeRTAlKE. U*
Ainsi le point U est situé sur le côté S'T', de manière que la
(liflërence de ses distances aux saHnHs voisins l'galc la diflérencc des càiès RT', RS'. Cette propriéli caractérise le point de conlacl dont il s'agit (Liv. Il , Tli. XX).
3* De même, la circonférence A', inscrite an triangle formé par RT', RU', BC, loucherait BC au point S; et la ctrconfércncc B', inscrite au triangle formé par RS', RU', AC, totieberuit ACau point T.
3* Si l'on considère lu système des cercles A', B', Z, on voit (|ue SS', TT' sont deux tangentes communes extérieure», et que I!U' est une langcnlc conmiune intérieure.
Ces trois droites se coupent en R; donc (Tb. CIV) la seconde langenie commune intérieure, aux cercles A', B', passe par le .«ommeiC,où concourent les tangentes communes extérieures BCAC.
4* Nommons a., y les points où UU', SS' touchent, respectivement, les cercles A', C Je dis que Udc= S/.
En eflel :
PU = GU--S'C — S'U=>S'M — S'r»My.
P« = DP— U'. = C'F — U'S = SF = SM;
TltOKtMES CT numiXES, ETC.
y La taiynte l^ & h dreonferoiee A', est mojcniie proponioBodle cnire US ei Uo, a éfam h seeoode iotarseclioo de IIS a^«e A'. De même. S/ est OMyyemie proponioDiidle entre SU et S/. A eaose de Ua= S/, oo a doue
SasUc
Ainsi, /a îramtcmale US déîermime^ dmms les cercles A\ G^ des cardes égales. Ces cercles soml doue nu, du somumei B, «ws dn magies égaux (Th. C). Autrement dit, la sectmde immgenie cornmume nOèrieure^aux cercles A\ C\ est la bissedriee de Caugle B du triangle donué (*).
De là résulte la constniction suivante, donnée par STEiREa :
1 étant le centre du cercle inscrit au triangle ABC, inscrivez, aux triangles BIC, CIA, AIB, les cercles A\ B\ C. Menez à ces cerdeSf pris deux à deux, les tangentes communes SS\ TT^, UU'; vous formerez ainsi trois triangles ATT', BUU', CSS\ ayant chacun pour côtés, une de ces tangentes et deux côtés du triangle ABC Les cercles X, Y, Z, inscrits à ces noutxaux triangles, sfmt les cercles demandés (**).
(*) Celle remarquable démonslratiou est due, en grande partie, an D'Haet {Quarierly Journal, 1. 1, p. 219).
(*') Pour les recherches relatives au PnMime de Malfattl^Xt leeteor peut eonsniler les ouvrages suivants :
Mémoirtt de la Sociclé i/atienne (1805); Annales de Geigomme (t. 1,11, X);' Journal de CrelU (L I, \, XLV, LXXVI); Xouvelies Annales de Maihématûpus (t. V) ; Btdieiins de V Académie de Belgique (f 87i), etc.
