CH — HD=>C'M — HD

Or, cette dernière différence est la plus grande possible, lorsque les points C, D, M sont en ligne droite.

En effet, si nous prenons sur AB un point quelconque M', nous aurons, dans le triangle C'M'D :

Remarque. Lorsque les points C^ D sont également distants de AB» le point M n'existe plus; et alors, le point M' s'éloignant indéfiniment du milieu de EF, la différence CM' — M'D, d'abord nulle, croit sans cesse, en restant toujours moindre que EF ou CD.

Problème XTIL

Trouver, sur le côté AB d'un triangle, un point tel, que la somme de ses distances aux deux autres côtés soit un minimum.

Prenons, sur AB, deux points quelconques M, M'; puis

abaissons MP, MT' perpendiculaires sur AC, et MQ, M'Q' perpendiculaires sur BC. Afin de savoir laquelle est la plus grande des deux sommes MP -h MQ, MP' -h MQ', posons

MP -t- MQ ^ MP' -i- MQ'.

Menons MR parallèle h AC, M'S parallèle à BC : rinégaiilé devient

MP -^ MS -h SQ ^ MR + RP' + MQ';

d'où, h cause de MP = RP', SQ = M'Q' :