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DE GÉOMÉTRIE ÉLÉHERTAIRE. t60
^ns'iy par là substituiion»
(M-N)(P-Q) = 4R|(M-^N)-(P-Q>j, ou
(M — N)(P-Q)=iR* (8)
Les équations (7), (8) déterminent M — N et P— Q. Comme on connaît MN et PQ, on pourra trouver M et N» P et Q. De plus, le rectangle des cordes OAg, OA7 est équivalent è RQ, et leur différence est égale à N. Il sera donc facile de construire ces cordes, et, par suite» de trouver un arc égal à la dix-septième partie de la circonférence.
Remarque I/illustre Gauss a démontré» le premier, dans louvrage intitulé Disquisiliones Arithmeticœ ^ qu*il est possible, au moyen de la règle et du compas, de partager la circonférence en dix-sept partieségales. La démonstration géométrique ci-dessus est attribuée à Ampère*
Thé«rène IX.
Il existe toujours une circonférence à laquelle est inscriptible un polygone convexe dont les côtés sont respectivement égaux à des droites données (*).
Soil AB le plus grand des n côtés donnés; soit O le centre d'un très-grand are BMA, passant par les points A, B, et situé, par exemple, au-dessus de AB. A jiartir du point B, inscrivons à Tare BMA, les uns à la suite des autres, les n — 1 côtés BC, CD,... GH : si Tare BMA est suffisamment grand, la ligne brisée BCD... GH sera tout entière au-dessus de AB.
Faisons mouvoir le centre 0 jusqu'à ce qu'il passe au-dessous de AB : pendant ce mouvement, l'extrémité H de la ligne brisée se rapprochera du point A, puis le dépassera, de manière à, descendre au-dessotM de AB.
Ç) On suppose, bien entendu, la plus grande des droites données moindre que la somme de toutes les autres.
iTO THÉOKkmS ET PROILÈIIEB
En effet, à mesure que le centre 0 deêcend, l'arc AMB dimimw ; et comme il t pour limite la droite AB, il flnit par itn plus polit que la ligne brisée BCD...GH: à ce moment, rextrémité H de cette ligae bnsée est donc sur le prolongement ANB de Tare RMA, ou au-deawMde AB.
Remarquons à prfaeM ipti,r»t h nature du mouTcroent de H, i-e point ne peut passer au-dcjwows dt AB sans avoir coïncidé, i une certaine époque, avec le point A. Done SmmtfWM circonférence, et une seule, à laquelle est intcripttble le pohfgmi* €amrexe ABC.GA, ayant tea côtés respectivement égaux à ém droites données (*).
Bemarque. La grandeur de la circonrérence circonscrite est iridôpendanie de l'ordre dans lequel sont disposés les côtés du polygone.
Entre tous les polygone» formés eeec des côtés donnés, le maximum est le polygone convexe insarîptible.
Soient deux polygones ABCOE, abcde, équilatéraux entre eut, et dont le premier est inscriptible (Th. IX). Apportons les segments AMB , BNG , ... en amb, bnc, ... nous Tormerons une iigure ambnc..., isopérimètre avec le cercle AMBN..., et plus petite que ce cercle [G., 405]. Donc, 1 cause des parties communes, le premier pcJygone est plus grand que le second.
(') Cette dûraoutration est due i Prouhct (ffoinwJto Annahi, t. IX).
DE GÉOMÉTRIE ÉLÉMEflTAlRB.
Vlié«rèaM XI.
Entre tous les triangles isopérimètres, de même base, le maximum est le triangle isoscèle.
Soient le triangle isoscèle ACB et le triangle scaléne AC'B»
ayant même base AB, et dans lesqueb
AC -^ CB » AC -f- C'B.
Prolongeons AC d'une longueur égale CE; menons EC et EB.
Nous aurons
AC'-f-CB> AE, ou
AC'-|.CE>AC-i.CB, ou enfin
