III

Entre Unu les polygones isopérimètres j rf'im nUme ws/mbre de côtés, le maximum est le polygone régulier.

En eflfet, ce polygone maximum est en même temps équilatéral (Th. XII) el înscriptible (Th. X).

Entre tous les polygones équivalents, d'un mime t^ombre de côtés, le polygone régulier a le périmètre minimum.

La démonsiration est la même que celle du Théorème VIII.

De deux polygones réguliers isopérimètres, le maximum est celui qui a le plus grand nombre de côtés.

Soient deux polygones réguliers isopérimètres, Pun de n cAlés, l'autre de n + 1 côtés.

Prenons un point sur Tun des côtés du premier polygone : nous pouvons considérer cette figure comme un polygone trrégulier de n+ 1 côtés; donc, par le Théorème XIII, elle est plus petite que le second polygone régulier donné (*).

Vké^rèaie XVI.

De tous les triangles inscrits à un même segment, le maximum, en surface et en périmètre, est le triangle isoscèle.

Soient le triangle isoscèle ACB et le triangle scalène ACB,

('} Cette déiDonstration, remarquable par la simplicité, est dae i Steiacr. (Voyex Journal de LiauvUU, X. VI.}

DE GËOHËTRIE ËLËHENTAIRE. STS

inscrits au s^pnent ACCB, et ayant pour base commune la base AB du segmeoL 11 est d'abord évident que AGB, qui a' même hauteur que le segment, surpasse, en aire, ACB.

Pour démontrer que ACB a aussi le périmètre maiimum, décrivons, du point C comme ccolre,

b circonférence ABD; prolongeons AC jusqu'à sa rencontre

en D avec cette ligne; enfin, menons DE.

L^angle D, qui a son sommet i la circonférence, est moitié de

l'ange ACB ; donc il est moitiéde l'angle ACB. Conséquemment,

le triangle BC'D est isoscéle, et

AD=AC -i-BC'.

Or, la corde AD est moindre que le double du rayon AC; donc