AC' + BC'<AC + BC

£nfre tout les polygones d'un même nombre de calés, itucrits à un même cercle, le maximum, en surface et en périmètre, est le polygone régulier.

La démonstration est la même que celle du Théorème XII.

Thé«réB« XVIII.

De deux polygones réguliers, inscrite à un même cercle, celui qui a le plut grand nombre de côtés est le plut grand en turfoce.

Soient AB, AC les cdtés des deux polygones réguliers, l'un de n cdtés, l'autre de n -i- 1 côtés, inscrits à un même cercle 0. Menons les rayons fiO et CO.

S74 THÉORÈMES ET PSOtLÈMBS

Le premier polygone se compose de « iriaogles, ^ox à

— ABO ; le second se compose de» + 1

triangles, ^ux i AGO. Ceb étant, je dis que l'on a

(n-t-l) ACO>MiBO.

I Les triangles ABO, ACO ayant même base AO, sont entre eux ctmime leurs hauteurs BB'.CC;

et l'inégalité précédente revient i

(K-t- 1)CC'> nBB'.

Projetons B, C sur le rayon perpendiculaire à OA : il suffit de vérifier la relation

CC'>iiB"C".

Les arcs AB, AC sont, respectivement, [ et |^ de la cireooférenée; donc

an:fiC= =■

n n-i- 1 fi(n-t-t)

de cette même circonférence, et

■rcBC = -arcAa n

Portons l'arc BC sur l'arc AC; soient D, E... les points de division. En projetant ces points, nous aurons, ainsi qu'il est aisé de le reconnaître :