MS ^ M'R

Or, les triangles rectangles MRM', MSM' ont Thypolcnuse commune. Si donc, comme cela a lieu dans la figure, Tangle A surpasse B, nous aurons MM'R < M'MS. De là, on conclut aisément MS < M'R.

Par suite,

MP -H MQ < MP' -f. VQ\

Ainsi^ la somme des distances du point M, aux côtés AC, BC , diminue à mesure que ce point se rapproche du sommet A ; elle est donc la plus petite possible quand le point M se con*

S4 THÉORÈMES ET PEOBLÈHES

fond avec ce sommet; e( le minimum cherché égale la hauteur AD.

Remarque. Si les angles A , B sont égaux , il n'y a plus de minimum; car

HP -h MQ = AD,

quelle que soit la position du point U.

Vrohlèwe XTIII.

Trouver, dans le plan d'un triangle, vn point tel, que la tomme de ses dùtancet aux côtés du triangle soit un minimum.

Par un point quelconque M, intérietir ou cxlérieurau triangle, menons DE parallèle au oàté AB; soit F le point où cette droite rencontre le plus petit des côtés AC, BC. D'après le problème précédent,

FH < HQ -f- UR,

ou

FH -I- FC < MP + MQ -t- MR.

II ne s'agit donc plus que de comparer le point F avec les autres points du côté AC. Or, d'après le même problème, on a