B'C < BC

Cette inégalité équivaut à

BT'^F'C'<BF^FC; d^où

B'E -♦- BT + F'C'^ C'G < BE + BF -«- FC-*- CC;

etc.

Ainsi 9 tant que le polygone considéré n'est pas régulier, on

peut diminuer son périmètre et sa surface. Le polygone minimum

est donc régulier.

Théorème XYII.

De deux polygones réguliers^ circonscrits à un même cerch, celui qui a le plus grand nombre de côtés est le plus petite en surface et en périmètre.

En effet, un polygone régulier circonscrit, de n côtés, peut être regardé comme un polygone irrégulier de n + 1 côtés; donc, d'après le théorème précédent, il est plus grand que le polygone régulier circonscrit, de n + 1 côtés ; etc.

ProMèMe I.

On construit, sur le diamètre AB d*une circonférence C, un triangle équilatéral ABD; on divise AB en n parties égales; on joint l'extrémité E, de la deuxième division , au point D, par la sécante DEF. Quelle est Peocpressùm de la corde AF?

Prenons pour unité le rayon de la circonférence ; désignons, pour abréger, par 9 la distance CE, égale à 1 — ^. Représentons AF par x. Enfin, abaissons FP perpendiculaire sur CD.

M THÉORÈMES ET PBOBLÈMES

Celle droite FP égale la projection de CF sur AC; donc

i*=2-2FP. ... (I) D'un autre côté.

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