J" puis, k cause de
— * 3B-t-\/»'+ I{in — 3i
{n-lj' + 3
(') La seule valcar admissible pour FP est celle qui est repriseatée par la plus grande racine de l'équation (3). En efiet. la Muoie des racinea ctt infirienre i 3^, et FP doit surpasser J.
DE GiOMËTRIE ÉLÉMENTAIRE. t79
Supposons fi égal, suocessivementy à 3, 4» 8, 6; nous aurons , pour:
nBs5;
»kb5;
Les deux premières valeurs et la quatrième représentent les côtés du triangle équilatéral, du carré et de Thexagone régulier, inscrits au cercle C.
Quant à la valeur de x, qui répond à n^=»^f elle n'est pas égale au côté du pentagone régulier, dont Pexpression est
c=3-I/iO — 21/5,
mais elle en diffère assez peu ; car on trouve :
La construction indiquée dans l'énoncé du problème permet donc d'inscrire, à une circonférence donnée, un certain nombre de polygones réguliers, soit rigoureusement, soit par approximation (*).
{*) Cette règle pratique est indiquée dans le TraUi de la eonstrucHon et de$ principaux wagee des Imtrumentt de MathémaUçuei, par Bion (4* édit, Paris, 1753). Suivant Timmermans {Cormpondanee Mathémaa^ue^ de QumuT, tome IV, p. 940), on la trouve d^ji dans le Traiié de FortificaffoM, du chevalier Deviias (1 596-1657). Voyez, sur ee sujet, une inté* fessante Note de M. Hoosel (iVoicMOsi ÀmuEUi, tome XII, p. 77).
«a THÉORÈMES ET PROBLÈMES
On eomtruiif sur le diamètre AB d*une circonférence C, tin iria$igle iquilatéral ADB ; on divise le rayon C A en n parties égales; on joint Vextréndté E, de &i quatrième division^ au point Dy par la sécante DEF. Quelle est l'expression de la corde F6, G étant l'extrémité du diamètre DCG ?
Rq>ré8enu>n8 par 8' le segment CE da rayon, et par x' la eorde FG. Cette droite est moyenne proportionnelle entre sa projection PG et le diamètre; donc
x'* = 2 — ÎCP.
D^ailleurs (Prob. I)
. .- /5 -+- »/3 — îfT \
CP donc
OU enfin^à cause de i' =»- :
^ ^ .^nt/5if*— 32— 16 x'^ = 2-2k^ — j .... 5)
Cetle formule, un peu plus simple que la formule (4) (Prob. 1), donne, plus approximativement que celle-ci, le côlé du polygone régulier inscrit, de n côtés; du moins à partir de n«a 8. La construction indiquée dans Ténoncé (*) doit donc éure préférée à la règle pratique de Bion.
Remarque. Si Ton prenait CE=^, la perpendiculaire FP serait, à fort peu près, la moitié du côté cherché. On peut donc
(*) Elle est due à M. Tempier, «ous-directeur des Écoles primaires à Montpellier (voyez les Nouveltes Anna!e$^ tomes XII et XIII).
DE GËOHÉTItlE ËLtHERTAIBE.
remplacer les Tormutes (4) el (S) par celle-ci :
Su» + 4
Sur les jtrolongementt de deux raymu OA, OB, perpendîm- Uàret entre eux , on prend AC = BD =^ ^ OA. On mène CD , qm coupe en F, G la circonférence {"). On joint le point G au point E déterminé en prenant, mr AO, AE ==■ 3AC.
Évaluer ta longueur de EG. .
1' Le rayon étant pris par unité, posons EG=^x; el, pour abréger,
OC=ï -i--=fl.
Le triangle ECG donne, si l'on abaisse GH perpendiculaire è EC :
a:*=ÎË' -i-'Ce' — SCE . CH;
ou, parce que G est un angle de iS' :
i' =TèV Cfl'- 1^ . CE . CG. (i )
â* CE = 4AC = ;.
3* Pour énluer CG, menons OP perpendiculaire è CD.
(') Cette DODTelle formule, el la conitruclion d'où elle est tirée, sont fort approchée» lonque n ^ 4, S, 6.... Si n ut très-grand, au lieu de prendrR €0 = 1/3=1,752..., il Tint inieas supposer CD^J-^I,?!!. Entrr ces poùtioiu extrêmes du point D, il y en a une pour laquetle l'approximatioii mojennc da résultat est la plus grande powibre.
{") Poami qoe nsurpasie 4.
9tt THÉORÈMES ET PROBLÈMES
Il résulte, de cette ctmstniclioD :
OP = A, fG = \/i—t, ce — CP~PG=*OP-PG, ou
i* La formule (1) devient donc ou après substiiution et réduction,
« «' \ ni y n «'
(*) SoiTint Tinunerinai» {loc.eU.), la droîla GE dilRre 4'autant tnoiat du cAlé da polygooe Inscrit, de n côté*, qnii n ett pli» grind. Le méiM ■ateor attribue U construction préeédenle ii Btnurd de Samr-Wàmar.ytn I86i, elle • étë rtlromie pu H. Rbiiiu, bortoger i Paris.
Voici d'autres praliquei, fort cnrienses, qui m'ont ëté couMUUDiqnées par M. Hcnai PosToii.
I. Lti diamitTt AB, CD élatit reclangiàlatnt, tm prsNd U* csrdM CE. BF, igalii OH rayon OA. Dm point E cdiium emlre, on Ei^erit Pare FGH. Il résulte, de cette eonstniction :
OG =:eàU du décagone régulier ùutril; BG = edté du pettiagonerégutierinterit; GB ^ tôti de l'oetogont régulier ùiterit
(approximatlTemenl} ; DG^eonk du -^ de la eirtonféremet
(approsimatiTement) ; FG^confa du ',*,- de ta àramfiremet
(approsimativemeat) .
II. La mùtié du tùti du triaitgU è^Bibitrfraf tnwrtt égal» ta «ont» du^ dt la tirtonfirtiKe («pproximativeincnt).
DE CÊOMÊTRIG ËLËMEUTAIIIE. 383
Remarque. Si l'on fait croître n indéfinimeot, on trouve
l|im (nx) = \/iÔ •= 3,IM ..,
nombre qui diflëre, assez peu, du rapport de la eireonrérence au diamètre.
À Pextrimté B du rayon CB d'un arcU donné C, «n élève une Umyente BD égale au diamètre; on prolonge cette tangente d'une longueur Da êgtde au ânquième d» rayon, et d'une longueur Db égaie aux troie cinquième» du rayon ; on prend BA é^o/e à Ca ; enfin, par le point A, on mène AE pandUU à Cb. Quelle eit rexprettion de BE?
Prenant le rayon pour unité, nous aurons, successivement :
Ba=î.l=11; B6-i
-=-l/l4fi; BE—-BA—— 1/146.
III. £m dimiJIrM AB, CD ilani nelangulairtt, cm prtnd la cordt CE ^ai« ou rayon CO. Du point D, eomnu etnlrt, oh tUeril un are EF coupani, m P, /e protongt' ment de AB. Ou point F, «rninie eenfre, on dieril l'are CH. to fNM'nt A, ondacril l'are Dl ; puit, <lu point I, l'arc DK. D'aprit celfelM>M(rMt*oNffena,^pf«-
AH à> Mnfc 4n 4 <l« <> c»r«M-
/Vrenec; OH =r «Mde At j^ <f« te «tKwi-
Ol sa (^^ du pemtéMeagoiie régulier iiucril ; RK = eonfs du ~f^ dé la eirtonfirtnet.
t4 THÉORÈMES ET fROBLÈHES
Le droîie BE esl, à Tort peu près, égale k la circogférence rectifiée.
' En effet, en employant 1rs log»* riihmes, on trouve
log 146 B=â,1 6435386.
logl3cz>|,{1594335,
log-BE = 0,49714978.
Or, le rapport de la eirconférence au diamètre est égal à 5,Ui599... [G.,378];etc.
Celte construction a été donnée par M. Specht.
Connaiuant let périmètres p, P de deux polygones réguliers stmbl(d>let, fun irucrit, l'autre ârcotucrit, déterminer les périmé-, très p', P' des polygones réguliers, l'vn inscrit, l'autre drconêcrit, d'un nombre double de côtés.
AB étant le côté d'un polygone régulier de n côtés, inscrit i un cercle O, menons la tangente CD, parallèle i AB, et terminons-la aux rayons protoogés OA, OB : CD sera le eèté du polygone réigulier cïreons^il, homologue à AB.
Joignons le point de contact E, milieu de l'are AB, au point A : la cotde AEest le c6lé du polygone régulier inscrit, de
in côtés. Enfliiy si nous menons les bissectrices OF, OG des angles AOE, EOB, la partie P6 de CD sera le côté du polygene régulier de 2n côtés, circonscrit au cercle 0. Nous aurons donc, en premier lieu :
p»n.AB, P»n.CD, p' = 2it.AE, F=«2ii.FG.
Pour évaluer P' en fonction de p et de P, observons que la bissectrice OF et les parallèles CD, AB donnent
