F£ AB

Si Ton multiplie par in les deux termes du premier rapport, et par n les deux termes du second, on trouve, à cause des valeurs ei*des8us,

Pour déterminer p, considérons les triangles semblables EIF,

AHF : il en résulte

JM EF

ah""ae'

doù

Aë' » 3AH . EF.

En multipliant les deux membres par 4n^ et extrayant les racines , nous avons donc

Retnarque. Au moyen des formules (1), (2) on peut prouver que la différence P' — p' entre ks périmètres des polygones réguliers de 3n côtés, l'un inscrit^ Vautre circofiscrit à un cercle donnée est moindre que le quart de la différence P — p entre les périmètres des polygones réguliers de n côtés, l'un inscrit,

W6 THfODËMES ET PROBLÈMES

l'outra circontcrit. Mais on parvipQt plus rapidement au mène résultat en employant la démonstration géométrique suivante, donnée par M. Henri Bbrtot.

Soient, comme précédemment, AB, CD les cAtés des polygones

réguliers de n câtés, l'un inscrit, l'autre circonscrit ; et soit AE le côté du polygone régulier inseril, de 3n côtés. Si nous menons la tangente FG parallèle à AE, et que nous la terminione atn prolongements des rayons OA, OE, celle tangente sera le côté du polygone régulier circonscrit, de 9r côtés. Nous aurons dooc

p^Sn.AH. P = 2»i.CE, p'=.2n.AE, P' = 2n.FC;

en sorte qu*il sufGl de démontrer la relation suivante :