CE AF

Mais on sait que la moyenne par quotient est moindre que la moyenne par différence: l'inégalité est donc démontrée.

Connaissant te rayon R et l'apothème r d'un polygone régulier,

trowser le rayon R' et l'apothème r' d'un polygone régulier

itopérimèlre, d'un nombre double de côtés.

Soient AB le côté du premier polygone ; 0, son coitre; OA,

le rayon du cercle circonscrit; OD,

l'apoibème. Prenons le milieu C de

l'arc ACB. Menons AC, CB, puis

OA' perpendiculaire à AC, et OB'

perpendiculaire i BG.

La corde A'B' est moitié de AB; e[ l'angle A'OB' est moitié de AOB ; d'où il résulte que OA' et OD' sont le rayon R' et l'apothème r' du second polygone (*).

(") Cette élégaote eonslruction est due à Léger, sncien ehef d'institution à Montmorency. (Voyez Nouvetlei Aniuita de MathêTnaiiquet, tome V.)

Cela posé, le point D' est le milieu de OC, et OA' est moyedoe proportionnelle entre OC et OD; donc

Ainsi : 1* le second apothème est moyens par différence, enirt le premier apothème et le premier rayon; 2* le second rayon est moyen, par quotient, entre le premier rayon et le second apothème.

Remarques. — I. La /(ccA^CDest égaleàR — r; et si, du point O pris comme centre, nous décrivons Tare A'EB', nous aurons R'— r'^ED'. Or, la corde A'E est bissecu-ice deFangle CAD'; donc, à cause de A'D' < A'C, on a

ou enfin

ED'<icD', ED'<icD;

Ainsi, la différence entre le second rayon et le second apothème est moindre que le quart de la différence entre le premier rayon et le premier apothème.

II. Les formules ci-dessus sont beaucoup plus simples que celles qui résolvent les Problèmes Y et VL Mais, ainsi que Vincent Ta fait voir, on peut ramener celles-ci aux premières. Prenons, par exemple, les relations

A'=V/ÂB. B' = -?^.

Si Ton suppose

on trouve , par un calcul facile ,

DE GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIUE. 291

III. Si Ti , Tji, Ts, ... 9 Ro R2y Rs, ,..sont les apothèmes et les rayons de polygones successiTs y dont le périmètre égale i , on a

- =-[r-i- R — r, -♦- Rj — r, -♦- R, J,

ic R| R) R3

Pr«MèBie ▼III.

Connaissant les périmètres de deux polygones réguliers inscrits, run de n côtés, Vautre de 2n côtés; trouver le périmètre du polygone régulier inscrit, de 4n côtés.

Nommons p, p', p" les périmètres successifs ; nommons P, P', P^ les périmètres des polygones réguliers circonscrits^ respectivement semblables aux premiers polygones. Nous aurons, par le Problème V :

2PV

Si y entre les trois dernières équations, on élimine P' et V\ on aura la relation cherchée.

Or, P' =^; d'où, en substituant.

puis

P-^P Remarques. — I. Si , à un cercle donné , on inscrit une série

(') Congrès du Havre, 1877.

indéfinie de polygones réguliers, dont les nombres de eôtés aillent sans cesse en doublant, on aura, en représentant par pi, P29 Psi '"9 Pk^i^Pkf Pit+it ••• les périmètres de ces polygones :

Pk -♦- p*-i