III. En général
Ai — gP-O*.
lift reiH^senlant rapothème; donc
le nombre des radicaux étant jt + 1.
IV. Quand te nombre des cAtés du polygone augmente, l'apothème tend vers le rayon; donc
2 = lim . y 2 + KâTP^
PrskltBie XII.
Let côtés d'un décagone régulier étoile ABC..., inicril à un
cercle O, forment, par leurs intersections successives, un polygone
régulier AaHhEe..., ayant vingt côtés. Quels sont, en fonction du
rayon R du cercle O, l'aire P et te périmètre p de ce p(Aygone ?
I* Menons la corde AH : nous Formerons deux triangles AaH,
AHM, isoscèles et semblables.
Conséquemment,
On sait que AH =-^ R (1^5 — I), AM == R (Th. Il);
(') Let Prob. X et sninnU peuvent «ervir ■ calculer le rapport de la drconféreoee au diaroèlre. On peut consulter, sur ce aujet, les NomtUtt atiquti {lome. I, p. 190).
â98 , THÊORèMES ET PROBLÈMES
doric
Aa==-iR(l^-!)«=:i(D-l/5)n.
Cette valeur donne, pour expression du périmètre^
S"" Le polygone AaHA... se compose de vingt triangles égaux à AaO; donc l*aire de ce polygone est égale au produit du périmètre p par la moitié de Tapothème OP. Celui-ci a pour exprès* sion (Th. II; Rem. II) :
ou, en simpHGant,
a = -Rj/lO — 21/5.
Conséquemment»
ou
-i/bWiO-
'f/bO — 22i/5.
ProMèMO XIII.
Inscrire, à une circonférence donnée, un polygone régulier de trente-quatre côtés.
Nous avons démontré ci-dessus (Th. VIII) qu*il est possible de partager la circonférence en dix-sept parties égales, au moyen
(*) Il rdsulte de cette expression, ou de Tinspection de la ^gure, qae Aa-HAH SB R. On reconnaît aussi que le -eàté Aa de notre polygone est égal à la plus grande partie du c6\é du décagone régulier convexe, partagé en moyenne et extrême raison (voir Th. II).
de la règle et du compas. De là résulte qu*à une circonférence
donnée, on peut inscrire le polygone régulier de dix-sept côtés, et aussi celui de trente -quatre eôtés. Pour plus de simplicité, nous nous occuperons , seuleiment, de ce second polygone, il Remarquons d^abord que si la circon- I férence C, dont le rayon est R, est partagée en dix-sept parties égales, la corde
OAg , qui joint le point As avec le point 0 diamétralement opposé
au point Ao, est le côté cherché. Or :
OA, -4-0Ag«P, 0A,.0A8«.R(0Ae — OA7); ou
0A,-4-0A«=P, OA«.OAa=RN.
Lorsque P et N seront connus, ces deux équations détermineront OA2, côté d'un polygone étoile, et AOs» côté du polygone convexe de trente-quatre côtés : OAg est évidemment donné par la plus petite des deux racines.
Pour déterminer P et N, posons
Dès lors, X et x' étant supposés connus, nous aurons, en premier lieu,
M— N=a:, MN»R'; puis
p— Q = x', PQ=R«.
Enfin, X et x' sont donnés par les équations
ar — ac' == R , xx' = 4R'.
Nous pouvons maintenant nous proposer, soit la résolution de ees diverses équations, soit la construction qui en résulte.
Résohition. La première question ne présente aucune difficulté : on obtient en effet, par les propriétés les plus simples de
réquation du second degré, les valeurs qui suivent :
P=lR^i+l/Ï7+ ^'54 — 2VT7J.
H«=i r/i 1/77 + j/îïTTP^j .
OA, =1 r(— I -i-l/ï? H- 1/34 — i i/ï?)
- ^Ry (— l-».l/Î7+|/34-2|/Ï7)*-.16(-l-|/T7-4-j/34-+-n^ïï) •
CcUe dernière valeur, développée , devient
OAs = c =
On peut réunir les fermes
—21/34—21/17, 2K34O7— l/T?); et Ton obtient, finalement,
(*) On peut encore réduire cette expression; car si l'on pose
4|/w-*.2|/T7-- |/l70-26V/Ï7=r, on trouve, par une méthode indiquée dans tous les Traités d'Algèbre,
•=gR| - 1 4-l/T7-^j/34-2i/T7-2K 17+5|/'|7-/l70^38V/Î7j.
DE GÉONtTRIE ËLÉHERTAIRE. 301
Cotutrvetion. Sur le rayon OA du cercle donné, pris comme diamètre, décrivons une circonférence; élevons la langenle AD
égale à |3R ; joignons le point D au milieu C de OA, par la transversale DC; et soient E, E' les points où elle coupe la petite circonférence. Nous aurons
DE . DE'= ÂD* = 4R' , DE — DE' = R; donc
DE=x, DE'=a;'.
Sur ces deux segments DE, DE', décrivons les demi-circonférences DHE, DH'E'; menons, perpendiculairement à CD, la droite DF égale à R ; joignons le point F aus centres G, G' des demi-circonférences DE, DE'. Soient H, H' les points où les droites de jonction coupent ces lignes. Il est facile de voir que
