FP-*-PH' = P, FP.PH' = PM«-RN
donc
PF = c.
Remarque. A cause de Timperfection des instruments et de la multiplicité des constructions, il est bien difficile que PF soit rigoureusement la corde du trente-quatrième de la circonférence. Aussi, lorsqu'il est question d'un problème graphique, doit-on préférer, à la construction précédente. Tune des méthodes indiquées ci-dessus (Prob. II et III) (*).
Problème XIT.
Calculer f à moins de 0^001, le rapport entre le côté du polygone régulier de trente-quatre càtés et le rayon du cercle circonscrit.
Reprenons Texpression c \
(*) Voir, sur le même sujet, un Mémoire de M. Scbrobter {Journal de Crelk, t LVII, ou Nouvelles Annales, 1874).
oc GÉO.VÉTRIE ÉLÉMENTAIRE.
Afin d'arriver plus rapidement au résultat, nous appliquerons les logarithmes. Mais, comme on ne peut efiSectuer, par leur moyen, ni addition ni soustratîon, nous calculerons séparément les diverses parties :
|/l70 — 2Cl/Î7 = D, V'si-f-âi/lT^E, 1/Ch-D — 4E = F. Les opérations prennent alors la disposition suivante :
Logl7
-log 17 = 0,61522446 Log26=: 1,41497335
Log
Log =
Log 2
Le rapport cherché est donc
Cette valeur, bien qu'obtenue par Temploi des logarithmes, est approchée à moins de 0,00001 ; car on trouve, par une autre méthode,
Problème XT.
Calculer^ à moins de 0,0001 , le rapport entre le côté du polygone régulier de dix-sept côtés et le rayon du cercle circonscrit.
On sait qu*en appelant c et C les côtés des polygones réguliers, de 2n côtés et de n côtés, inscrits au cercle dont le rayon est R, on a
Appliquons cette formule, en remplaçant ^ par la valeur 0,18454, trouvée ci-dessus.
Nous aurons
puis
Log 2,18454 = 0,3395600 Log 2,81546 = 0,2589867
Log 0,1 8454 = 1,2660905
T,5652638 = log-.
DB GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRR. 305
On vérifle, par d'autres méthodes» que celte valeur est approchée à moins de 0,001 .
Remarque». — I. Nous avons vu, précédemment, combien est compliquée la construction du polygone régulier de trente-quatre côtés : il en est de même pour le polygone de dix-sept côtés. Une construction approximative peut donc être utile. Or, si Ton compare la valeur ci-dessus avec celle qui donne le côté du triangle équilatéral inscrit, on reconnaît que le côté du polygone régulier inscrit, de dix-sept côtés, égale, à fort peu près, la demi-différence entre le côté du triangle équilatéral inscrit et le côté de l'hexagone régulier inscrit.
En effet, le rayon étant pris pour unitcS
le côté du triangle cquîlaléral «= 1/5^= 1^3205, le côté de riiexngone régulier ==» 1 .
différence «0,73205.
Cette quantité diffère, de C, d'environ 0,001 ; donc, etc.
II. Si Ion appliquait le procédé de Bion (Prob. I), on arriverait à un résultat moins approché, mais assez curieux. On a, en effet, pour n = 17, J= ff ; puis «*= {, valeur rationnelle et fort simple.
Elle donne x = 0,37796.,., quantité qui surpasse C d'environ 0,02.
ProMèm« XLTI.
A un cercle donné O, inscrire cinq carrés égauxy de manière que run d'eux soit concentrique au cercle, et que chacun des quatre autres ait deux sommets sur la circonférence.
Si R et X désignent le rayon du cercle ri le côté de chacun
300 Tnl^Ottf'.MCS ET PROBLÈMES
des cnrrés cherchas, on a, duiis le triangle reciangl» OPL :
Ainsi, le côté de chaque carré est tiiaijen proportionnel entre le rayon et '.ex deux cinquiémet du rayon.
Remarque. Les sommets du carré intérieur sont situés sur deux diamètres RT, US jicrpcndieulaires entre eux. Or, la demidiagonale OC esl égale à OPt/I. Donc i cause de x=R^^:
OC
en sorte que la demi-diagonale OC ett moyenne proportionnelle entre te rayon et le cinquième du rayon.
rraM^aie S TH.
A vn cercle donné, inscrire six pentagones règuHert égaux, de manière que l'un d'eux soit concentrique au cercle, et que chaam des cinq autret ait un sommet sur la circonférence.
Si l'on désigne par R, r, a le rayon donné OD , le rayon inconnu CD, et chacun des apothèmes OP, DP, on a
Mais, clans tout pentagone régulier.
donc
«=- r(l/ft + 1);
R=ir(3^l/5).
On tire, de cette équation,
r = iR(3-l/5); en sorte que le rayon r se construit facilement.
Remarques, — I. Le côté d du décagone régulier, inscrit au cercle donné, est donné par la formule
rf = lR(l/5-1).
Cooaéquemment,
r-f-rf«R.
On conclut, de celte relation , que le rayon O'D est égal au plus petit segment du rayon CD, partagé en moyenne et extrême raison,
II. La droite 00' = 2a = R — r=B=d; c'est-à-dire que : la distance des centres 0, 0' est égale au coté du décagone régulier convexe , inscrit au cercle donné.
Problème XTIII.
A un cercle donnée inscrire sept hexagones réguliers égaux^ de manière que l'un d'eux soit concentrique au cercle, et que chacun des six autres ait deux sommets sur la circonférence.
Un raisonnement analogue à celui qui a été employé ci-dessus
(Prob. XVI) donne
at* ^ — ;
308 TBÊORÈHëS et n<»LÈIIES, ETC.
X éUDt le ebié de ehaque beugooe. Ce côté est donc Moynt pnportùHuid entre le rayoH et le iepttème du rayon.
Bemarqve. D'après le Problème X\ (Bem.U), ce mimé côlé e$t, à fort peu prie, égal à la corde fiu aouê-tend U-^de bt etrcon/SrMce.
Prablèae XJX.
DkompOMer un hexagone régulier, en hexagone» réguliers et en triangtet équilatéraux.
Il suffit de dh'iser, en trois parties égales, chacun des dttés de l'hexagone donné, et de joindre deux à deux, dans un ordre convenable, les points de division.
Remarque, Les problèmes analogues à celui-ci reçoivent leur application dans la Marqueterie, la Mosaique, etc. Ils reposent, en géoéral, sur l'Ànalgte indéterminée.
