LIVRE V

Tlié«rèaie I.

Daiiê tout angle trièdre, les plans bissecteurs des angles dièdres se coupent suivant une même droite.

Soient ASO le plan bissecteur de Tangle dièdre SA, et BSO le

plan bissecteur de langle dièdre SB. Ces deux plans se coupent suivant une droite SO9 intérieure à Tanglc triëdre. Un point quelconque M de cette ligne, appartenant à In fois aux plans ASO, BSO, est également distant des trois faces du tricdre : donc il appartient au plan bissecteur de langle dièdre SC; etc.

Remarques. — 1. le lieu des points tels, que cbacun soit également distant des trois faces du trièdre se compose de la droite SO, et de trois autres droites SP, SQ, SR. Chacune de ces dernières droites est située, à la fois, dans tin plan bissecteur intérieurf et dans deuxplans bissecteurs extérieurs.

If. Coupons le trièdre S par un plan quelconque L, perpendiculaire à la droite SO. Soient A'B'C la section obtenue et O' le point où la droite SO perce le plan L. Les traces des plans bissecteurs intérieurs sont les droites A'O', B'O', C'O . Quant aux traces des plans bissecteurs ex/érieurSy ce sont des droites N'P', P'M', M'N', respectivement'perpcndiculaires aux premières. En effol, la droite N'P', par

exemple, a élé menée ilnna le plan L, perpendiculairement k la trace A'O' du plan ASO ; donc elle est perpendiculaire à ce dernier plan; donc le plan bissecteur eilérieur, perpendiculaire au plan ASO, et passant par le point A', contient la droite N'P'; etc.

Observons, maintenant, que les trots plans bissecLcurs, dont les Iraccs sont P'M'iN'M', A'O', se coupant suivant une même droite, leurs traces doivent converger en un même point; donc A'O', prolongée, passe en M'. Ainsi : tout plan, mené perpendiculai^ temmt à l'iiileraection de» trois plans bùsecleurs intérieurs d'un trièdre, coupe les six plans bissecteurs suivant le» trois côféi et les trois hauteurs d'un même triangle, (Voyez Liv. I, Th. I.)

III. Nous savons que tes droites A'O', B'O, C'O' sont les bissectrices des angles du triangle A'B'C (Th. I, Liv. Il)v Donc les traces des six plans bissecteurs d'uii trièdre, sur un plan L perpendiculaire à l'intersection des trots plans bissecteurs intérieurs, sont les six bissectrices du triangle suivant lequel ce plan coupe te trièdre.

Cette remarf|ue peut recevoir son application dans ceriainei épures de Géométrie descriptive.

Don* tout angle trièdre, les plans menés par les arêtes et par Us

bissectrices des faces opposées, se coupent suivant une même droile.

Prenons sur les (rois arêtes, à partir du

somme! , des distances SA, SB, SC, égales

entre elles ; puis faisons passer un plan pur

les points A, B, C.

Le triangle SBC étant isoscèle, la bissectrice SM de l'angle BSC passe au milieu M ducdtéBC.Doncla trace du plan AS.M, I sur ie plan ABC, est une médiane du iri~ I angle ABC. De m&me pour les plans BSN, CSP. Or les trois médianes se coupent en un même point; etc.

DE GÉOMÉTRIE ÉLÉMR:STAII;B« 311

Remarque. Si Ton considère , indcpendinmment drs bissecirices intérieures SM, SN, SP, les bissectrices extérieures des angles BSC, ASC, BSA; puis que, par eiincune de ees droites et par larële qui n'appartient pas à la même face, on mené un plan, on obtient trois nouveaux plans qui, combinés avec les trois premiers, déterminent trois nouvelles droiies SA', SB', SC. Il est facile de reconnaître que. A' étant la trace de SA' sur le plan ABC, le point M est le milieu de AA'. De même pour SB' CI SC'.

Tbé^rèine III.

Dans tout angle trièdre^ les platis menés par les bissectrices des faceSy perpendiculairement à ces faces, se coupent xuivant une même droite.

Prenons sur les trois arêtes, à partir du sommet S, les

distances égales SA, SB, SC, et menons le plan ABC. La bissectrice SM de la face SBC est perpendiculaire au côté BC, en son milieu M ; et il en est de même des bissectrices SN, SP, à regard des dt*ux autres faces. Conséquemment , les plans menés parées droites, perpendiculairement aux faces correspondantes, ont pour traces, sur le plan ABC, les perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés du triangle ABC. Or ces perpendiculaires se coupent en un même point 0; donc, etc.

Théorème iV.

Les platis menés par les arêtes d'un awjle triédre , perpendicutairement aux faces opposées, se coupent suivant une même droite.

Soil ASM le plan mené par Tarête AS du trièdre S, pcrpen-

313 THËORÊHES ET PROBLÈMES

dicnlairemeni i la face opposée B5C. Soit, de même. BSN le plan mené par fiS, perpendiculairement à la faee ASC. Ces deux plans se coupent suivant une droite SO : il s*»gît de faire voir que le plan ose est perpendiculaire h ta fnce ASB. Par un point quelconque 0 de In droite OS, menons le plan perpendiculaire h celte ligne; et soit ABC le triangle déterminé par les intersections de ce plan avec les trois faces de l'angle irièdre. Menons les droites AOH, BON, COP, et joignons le point P au sommet S.

Le plan ANS, qui contient une droite perpendiculaire au plan ABC, est perpendiculaire h ce dernier plan [G., 47S] ; d'ailleurs il a été mené perpendiculairement au pion BSC ; donc la droite BC, intersection des plans ABC, BSC, est perpendiculaire i AMS [G; 477]; donc elle est perpendiculaire à la droite AM; c'est-âdire que celte dernière droite est la perpendieulsire abaissée, du sommet A, sur le càté opposé BC.

Par un raisonnement semblable on voit que BN est la per pendiculaire abaissée, du sommet B, sur le càié AC; donc (Liv. I, Th. I) COP est perpendiculaire à AB; donc le plan CSP est perpendiculaire à AB; etc.

Tkéarène T.

fions tout trièdre, la tomme des angles formés par les arélet, avec les bissectrices des faces opposées, est moindre que la somme des faces.

Coupons l'angle Iriiïdre S par un plan ABC, perpendiculaire, en un point M, à h bissectrice SM de la face BSC. Menons la droite AM, et prolongeons-la d'une longueur égale MA'. Enfin, tirons SA', CA , BA'.

Le quadrilatère ABA'C, dans lequel

les diagonales se coupent mutuellement en parties égales, est un parallélogramme; donc